Determinante, Matrix mit Sinus/Cosinus

Question

Hallo,

ich verstehe nicht wie die Determinante folgender Matrix ausrechnen muss:

1	sinα	cosα
1	sinβ	cosβ
1	sinγ	cosγ

Kann mir einer einen Ansatz geben? Mich verwirren die Werte Sinus und Cosinus vob α,β und γ.

Kann ich die Determinante mit der Sarrus-Formel rechnen? Oder gibt es da einen kürzeren Weg?  

Answer 1

Aloha :)

Du kannst in der Determinante das Vielfache einer Zeile / Spalte zu einer anderen Zeile / Spalte addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinate ändert. Wir subtrahieren daher Zeile 1 von Zeile 2 und Zeile 1 von Zeile 3, damit wir in der ersten Spalte zwei Nullen erhalten:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrr}1 & \sin\alpha & \cos\alpha\\1 & \sin\beta & \cos\beta\\1 & \sin\gamma & \cos\gamma\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin\alpha & \cos\alpha\\0 & \sin\beta-\sin\alpha & \cos\beta-\cos\alpha\\0 & \sin\gamma-\sin\alpha & \cos\gamma-\cos\alpha\end{array}\right|$$Jetzt kannst du die Determinante nach der ersten Spalte entiwckeln:$$=(\sin\beta-\sin\alpha)(\cos\gamma-\cos\alpha)-(\sin\gamma-\sin\alpha)(\cos\beta-\cos\alpha)$$

Comments

Vielen Dank! Ich verstehe es jetzt.

Answer 2

Du kannst die Determinante mit der Sarrus-Formel berechnen, du könntest aber auch mit der Gauß-Elimination die Matrix zur Zeilenstufenform (ohne dass die Pivot-Elemente 1 sind) ändern und dann die Determinante berechnen, indem du die Diagnonalwerte miteinander multiplizierst.

Z.B. die Determinante der Matrix:

(1 2 3)

(0 4 5)

(0 0 7)

wäre 1*4*7=28

Keine Gewähr auf meine Antwort

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Dankeschön, ich verstehe den Ansatz! :)