Gruppen,Permutation Gleichung nach E auflösen?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Symmetriegruppe (S7, ◦) der Permutationen der 7 Elemente {1,2,3,4,5,6,7}
mit der Abbildungskomposition als Verknüpfung.

φ =

(1 2 3 4 5 6 7)

(2 3 5 6 1 4 7)

und

ψ = (1 2 3 4 5 6 7)
     (4 6 2 3 7 1 5)

Losen Sie in (S7, ◦) die folgende Gleichung für die Unbekannte ξ:
φ²◦ ψ ◦ ξ ◦ φ³ = ψ ◦ φ²

Problem/Ansatz:

Ich blicke nicht ganz durch. Habt ihr ein Tipp, was die Aufgabenstellung von mir verlangt? Wäre das eine normale Gleichung würde ich die dann nach ξ auflösen, aber wie bringe ich denn φ³,ψ,φ² "auf die andere Seite"?

Comments

Ich habe diesbezüglich noch eine Frage:

Wenn φ und φ^-1 verknüpft werden erhalte ich die Identität also:

(1 2 3 4 5 6 7)

(1 2 3 4 5 6 7)

-> Was hat das für eine Bedeutung kann ich dann dann sagen, dass die Identität das neutrale Element ist?

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So nach bissel rum googlen, habe ich dann dies gelöst. Meine Lösung sieht so aus:

Aus:

φ²◦ ψ ◦ ξ ◦ φ³ = ψ ◦ φ²

wird:

ξ = ψ^-1 ◦ φ^-2 ◦ ψ ◦ φ^-2 ◦ φ^-3

Kann man mathematisch korrekt noch die φ^-2 ◦ φ^-3 zusammenfassen?

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Diebeiden rechten Faktoren heißen doch \(\phi^2\circ \phi^{-3}\).
Das kannst du natürlich zu \(\phi^{-1}\) zusammenfassen.
Du bist in einer Gruppe, kannst also alle Gruppenregeln verwenden.

Frage: Kennst du die Zykelschreibweise? Weißt du, wie man
Zykel mit einander multipliziert?

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Ja ich habe mein Fehler mittlerweile gesehen und unten korrigiert. Noch kenne ich die Zyklenschreibweise nicht. Aber ich bin ja auch noch im Lernprozess. Ich schaue mir mal an, wie man Zykel miteinander multipliziert :)

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Schnell mal die Zyklendarstellung angeschaut. Demnach angewendet auf φ wäre es = (1,2,3,5)(4,6)

Bei ψ wäre es = (1,4,3,2,6)(5,7)

Viel angenehmer dies so zu betrachten :) Danke dir

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Ermanus haste mal ein Beispiel, wie eine Multiplikation von Zyklen aussieht? Finde dazu gerade bei Google nichts.

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Hallo 44cm,
das hier zu erklären ist extrem aufwändig. Google lieber
weiter mit "Zykel multiplizieren Beispiele" und nehme
es mir nicht krumm. Es ist nicht schwierig, aber grauenhaft
schriftlich zu erklären ...

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Kein Problem :)

Danke dir nochmal :)

Ich muss aber noch die restlichen Aufgaben auf meinem Übungsblatt machen, danach schaue ich mir das mal mit der Multiplikation an.

Answer 1

Zu Thema siehe

https://www.geogebra.org/m/ahcphx5s

Bestimme die Permutations-Tupel (ohne gewähr;-)

\(\varphi \, :=  \, \left\{ 2, 3, 5, 6, 1, 4, 7 \right\} \)

\(\varphi^2 \, :=  \, \left\{ 3, 5, 1, 4, 2, 6, 7 \right\} \quad (\varphi^2) ^{-1} \, :=  \, \left\{ 3, 5, 1, 4, 2, 6, 7 \right\} \)

\(\varphi^3 \, :=  \, \left\{ 5, 1, 2, 6, 3, 4, 7 \right\} \quad (\varphi^3)^{-1} \, :=  \, \left\{ 2, 3, 5, 6, 1, 4, 7 \right\} \)

\(\psi \, :=  \, \left\{ 4, 6, 2, 3, 7, 1, 5 \right\} \quad (\psi)^{-1} \, :=  \, \left\{ 6, 3, 4, 1, 7, 2, 5 \right\} \)

φ²◦ ψ ◦ ξ ◦ φ³ = ψ ◦ φ²

\(\xi =  ψ^{-1} \left(φ^{2} \right)^{-1} \left( ψ \;φ^{2}\right) (\varphi^3)^{-1} \)

\(\xi = \left\{ 5, 1, 2, 4, 7, 6, 3 \right\} \)

Noch mal, ohne Gewähr, man vertüttelt sich da sehr schnell - genau prüfen!

Comments

Danke. Ja macht Sinn. Ich habe es nochmal durchgerechnet. Meine Lösung oben ist nicht ganz so richtig. Richtig wäre es wie du geschrieben hast.

Also: ξ = ψ^-1 ◦ φ^-2 ◦ ψ ◦ φ^2 ◦ φ^-3 .

Eine Frage hätte ich noch.

Lassen sich diese zwei φ^2 ◦ φ^-3 problemlos zusammenfassen, als würde man Potenzen multiplizieren und so die Exponenten addieren zu: φ^-1 ?

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Klar. Habe ich oben in meinem Kommentar gesagt.

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Nein, im Allgeinen nicht, denke ich - obwohl es hier zutrifft

Permutationen sind abhängig von der Reihenfolge, das °  ist keine Multiplikation, sondern die Hintereinanderausführung von Permutationen...

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In einer Gruppe gilt immer \(a^r\circ a^s=a^{r+s}\) mit
ganzzahligen \(r,s\).