Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus \mathcal{L}(V, V) kein Unterraum von …

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit Basis \( v_{1}, \ldots, v_{n} \).

(a) Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler \( \mathbb{F} \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim}(V)>1 . \) Zeigen Sie, dass die Menge der nicht invertierbaren linearen Abbildungen aus \( \mathcal{L}(V, V) \) kein Unterraum von \( \mathcal{L}(V, V) \) ist.

(b) Begründen Sie, weshalb die Aussage aus Teilaufgabe (a) nicht für den Fall \( \operatorname{dim}(V)=1 \) gilt

Answer 1

(a) Es gibt eine invertierbare lineare Abbildung, die man als Summe von zwei nicht-invertierbaren linearen Abbildungen schreiben kann.

(b) Es gibt eine einzige nicht-invertierbare lineare Abbildung.

Comments

Danke für die Antwort. Leider weiß ich noch nicht genau, wie ich hier vorgehen soll.

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\(V\) ist isomorph zu \(\mathbb{F}^n\). Es genügt deshalb, die linearen Abbildungen \(\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n\) zu untersuchen.

Die linearen Abbildungen \(\mathbb{F}^n\to \mathbb{F}^n\) sind genau die Abbildungen

        \(f_A: v\mapsto A\cdot v\)

mit \(A\in \mathbb{F}^{n\times n}\). Dabei ist \(f_A\) genau dann invertierbar, wenn \(A\) invertierbar. Es genügt deshalb, Invertierbarkeit von \(n\times n\)-Marizen zu untersuchen.

(a) Es gibt eine invertierbare lineare Abbildung, die man als Summe von zwei nicht-invertierbaren linearen Abbildungen schreiben kann.

Finde Matrizen \(A,B,C\in \mathbb{F}^n\) mit \(A+B = C\), so dass \(C\) invertierbar ist, aber \(A\) und \(B\) nicht.

(b) Es gibt eine einzige nicht-invertierbare lineare Abbildung.

Welche \(1\times 1\)-Matrix ist nicht invertierbar?

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! :)