Zeige, dass die Vereinigung von Un ein Unterraum von V ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass \( U=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} U_{n} \) ein Unterraum von \( V \) ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann man diese Aussage beweisen! Mir fällt dazu nur folgendes ein:

Es gilt ja \( U_{n} \subseteq U_{n+1} \) für \( n \in \mathbb{N} \), wenn \( V \) ein Vektorraum und \( \left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Unterräumen von \( V \) ist.

Answer 1

Hallo,

durch den Kommentar klärt sich einiges:

Es gilt ja \( U_{n} \subseteq U_{n+1} \) für \( n \in \mathbb{N} \), wenn \( V \) ein Vektorraum und \( \left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Unterräumen von \( V \) ist.

Es sind also ineinander verschachtelte Untervektorräume von \(V\). Da die Aussage "für alle \(n\in \mathbb{N}\)" gilt, bietet sich ein Beweis über vollständige Induktion an.

Starte mit dem Fall \(n=1\). Der ist trivial.

Im Induktionsschritt nimmst du an, dass \(\bigcup \limits_{k=1}^{n}U_k\) Untervektorraum von \(V\) und willst zeigen, dass auch \(\left(\bigcup \limits_{k=1}^{n}U_k\right)\cup U_{n+1}\) ein Untervektorraum ist.

Das wird im Prinzip hier gezeigt.