Steckbriefaufgabe mit Sattelpunkt und waagerechter Tangente

Question

Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion 4.Grades, für die gilt
S(0|3) ist Sattelpunkt, im Punkt P(3|0) liegt eine horizontale Tangente vor.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich wollte diese Steckbriefaufgabe lösen. An sich verstehe ich die ersten vier Bedingungen, jedoch verstehe ich nicht woher die Bedingung f“(0)=0 kommt denn bei einem Sattelpunkt ist die zweite Ableitung ja normal nicht null.

Vielen Dank im Voraus

4) \( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+c \)
\( f^{\prime}(t)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d \)
\( f^{\prime \prime}(t)=12 a x^{2}+6 b x+2 c \)
\( f(0)=3 \quad \Rightarrow \quad e=3 \)
\( f^{\prime}(0)=0 \quad \Rightarrow \quad d=0 \)
\( f(3)=0 \Rightarrow a \cdot 3^{4}+b \cdot 3^{3}+c \cdot 3^{2}+3=0 \)
\( f^{\prime}(3)=0 \quad \Rightarrow 4 a \cdot 3^{3}+3 b \cdot 3^{2}+2 c \cdot 3=0 \)
\( f^{\prime \prime}(0)=0 \Rightarrow \quad c=0 \)
\( I: 81 a+27 b=-3 \)

\( I: 108 a+27 b=0 \)
\( a=\frac{1}{9} \quad b=-\frac{4}{9} \)
\( \Rightarrow f(x)=\frac{1}{9} x^{4}-\frac{4}{9} x^{3}+3 \)i

Comments

Bei einem Sattelpunkt ist die zweite Ableitung immer null.

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Das hat er doch geschrieben.

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Das hat er doch geschrieben.

Hat er nicht.

Answer 1

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt und in Wendepunkten ist die zweite Ableitung immer gleich 0. D.h. auch in Sattelpunkten ist die zweite Ableitung immer gleich null.

Benutze für ähnliche Aufgaben

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(0) = 3
f'(0) = 0
f''(0) = 0
f(3) = 0
f'(3) = 0

Gleichungssystem

e = 3
d = 0
2c = 0
81a + 27b + 9c + 3d + e = 0 --> 81·a + 27·b = -3
108a + 27b + 6c + d = 0 --> 108a + 27b = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 1/9·x^4 - 4/9·x^3 + 3

Comments

Die Aufgabe hat der Frager doch bereits auf einfacherem Weg bis zum Ergebnis gelöst vorliegen. Zur Probe kann man auch einfach die zu erfüllenden Bedingungen nachrechnen.

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Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt und in Wendepunkten ist die zweite Ableitung immer gleich 0. D.h. auch in Sattelpunkten ist die zweite Ableitung immer gleich null.

Answer 2

"Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion 4.Grades, für die gilt
S(0|3) ist Sattelpunkt, im Punkt P(3|0) liegt eine horizontale Tangente vor."

Ich verschiebe den Graphen um 3 Einheiten nach unten: S´(0|0)(-> ist eine Dreifachnullstelle)   ; P´(3|-3) und mache weiter mit der Nullstellenforn der Parabel 4.Grades

f(x)=a*x^3*(x-N)

P´(3|-3)

f(3)=3^3*a*(3-N)=27a*(3-N)

1.)27a*(3-N)=-3     9a*(3-N)=-1    9a*(N-3)=1      a=\( \frac{1}{9*(N-3)} \)

f(x)=\( \frac{1}{9*(N-3)} \)*[x^4-x^3*N]

horizontale Tangente bei P´(3|-3):

f´(x)=\( \frac{1}{9*(N-3)} \)*[4x^3-3*x^2*N]

f´(3)=\( \frac{1}{9*(N-3)} \)*[4*3^3-3*3^2*N]

\( \frac{1}{9*(N-3)} \)*[108-27*N]=0    N=4   a=\( \frac{1}{9*(4-3)} \)=\( \frac{1}{9} \)

f(x)=\( \frac{1}{9} \)*[x^4-4x^3]

Nun wieder 3 Einheiten nach oben:

p(x)=\( \frac{1}{9} \)*[x^4-4x^3]+3