Sinusfunktion Konvergenz | Nullfolge?

Question

Wie Genau konvergiert diese Folge hier:

(d_n)_n∈ℕ mit d_n = sin(n)/n

die Funktion ''schwankt" ja wenn man sie sich anguckt, und diese Schwankungen werden ja immer kleiner wenn ich das richtig gesehen habe, heisst das die Funktion dann gegen 0 konvergiert bzw. sie ist eine Nullfolge?

Wie genau untersuche ich das dann, also wie genau zeige ich sowas dann?

Answer 1

Ich würde "oszillieren" sagen, nicht "schwanken".

Der Grenzwert für n → ± ∞ ist 0.

Wie man es zeigt: Der Sinus (Werte von -1 bis 1) wird mit etwas multipliziert, was gegen Null strebt, nämlich 1/x.

Comments

Ok, alles klar ich versuch es mal, Danke!

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Also wenn ich das rivchtig verstanden habe, dann mache ich :

sin(-1), sin(0) und sin(1), und multipliziere das dann mit 1/x, wie genau verhält sich dann das x bei 1/x, setzte ich da auch jeweils -1 bis 1 ein für das jewilige?

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Mit "Sinus (Werte von -1 bis 1)" meinte ich den Sinus, nicht sein Argument.

Bei 1/x sollst Du nicht "auch jeweils -1 bis 1 einsetzen" sondern ich hatte geschrieben, dass dieser Faktor gegen null geht, wenn x gegen unendlich.

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Sorry, ich hatte das falsch verstanden

Answer 2

Wenn \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) beschränkt ist und \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge ist, dann ist \((a_n\cdot b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Nullfolge.

Beweis: Sei \(\varepsilon > 0\) und \(m = \max\{|a_n|: n\in \mathbb{N}\}\). Ferner sei \(N \in \mathbb{N}\) so dass \(|b_n| < \frac{\varepsilon}{m}\) für alle \(n > N\).