Divergenz und Nullfolge beweisen

Question 1

Aufgabe:

5.) Zusatzaufgabe

Beweisen Sie:
i) Zu jedem $ b \in \mathbb{R} $ mit $ b>1 $ und zu jedem $ T \in \mathbb{R} $ mit $ T>0 $ gibt es ein $ N \in \mathbb{N} $, so dass für alle $ n>N $ gilt:

$ b^{n} >T $

Bemerkung: Sie sollen also zeigen, dass für $ b>1 $ die Folge $ \left(b^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ bestimmt divergent ist, d.h., unbeschränkt wächst.

ii) Für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x|<1 $ ist die Folge $ \left(x^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} $ eine Nullfolge.

Problem/Ansatz:

Zu eins kann man T nicht einfach bn−1 setzen und dann die Induktion für machen?

Zu zwei habe ich gar keine Ahnung...

Question 2

Das T kannst Du nicht wählen. Du musst die angegebene Eigenschaft für beliebige reelle Zahlen (!) T>0 zeigen.

Es sei $b=1+c$, also $c>0$. Zu gegebenem (beliebigen) T>0 wählen wir $N \in \N$ mit $N >T/c$. Dann gilt
$$\forall n \geq N: \qquad b^n=(1+c)^n\geq 1+nc >nc \geq Nc >T$$

Die erst Abschätzung ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz, ist aber auch als Bernoulli-Ungleichung bekannt.

Für b) beachte: $|x|<1 \Rightarrow 1/|x|>1$ und verwende a)

Question 3

Danke Danke Danke :)

Mathhilf · Answer 1 · 2024-01-31T09:26:30+0000

Das T kannst Du nicht wählen. Du musst die angegebene Eigenschaft für beliebige reelle Zahlen (!) T>0 zeigen.

Es sei $b=1+c$, also $c>0$. Zu gegebenem (beliebigen) T>0 wählen wir $N \in \N$ mit $N >T/c$. Dann gilt
$$\forall n \geq N: \qquad b^n=(1+c)^n\geq 1+nc >nc \geq Nc >T$$

Die erst Abschätzung ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz, ist aber auch als Bernoulli-Ungleichung bekannt.

Für b) beachte: $|x|<1 \Rightarrow 1/|x|>1$ und verwende a)

Divergenz und Nullfolge beweisen

1 Antwort

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