Auf Dichtefunktion überprüfen

Question

Hey, ich habe folgende Aufgabe bekommen und bin etwas unschlüssig, wie ich vorgehen soll.

Zeigen Sie, dass es sich bei folgender Funktion um eine Dichtefunktion handelt:

f(x) = $$\begin{pmatrix} 2e^{4x}\text{ für x < 0 }\\2e^{-4x}\text{ für x ≥ 0 } \end{pmatrix}$$

Ich weiß, dass das Integral 1 ergeben muss. Rechnet man dann

$$[\frac{e^{4x}}{2}]_{}^{-∞}$$ + $$[\frac{-e^{-4x}}{2}]_{0}^{∞}$$ mittels Grenzwerte?

Steh leider sehr auf dem Schlauch und freu mich über Hilfe!

Comments

Hallo,

ja, das ist richtig (die weitere Bedingung, dass f nichtnegativ ist, ist ja offensichtlich erfüllt)

Allerdings muss es beim ersten Integral heißen:\([..]_{-\infty}^0\). Die ist natürlich nur eine symbolische Schreibweise, genau genommen müsste es heißen:

$$\lim_{y \to -\infty} [0.5 \exp(4x)]_y^0$$

Gruß Mathhilf

Answer 1

∫ (0 bis ∞) (2·EXP(- 4·x)) dx = [- 1/2·EXP(- 4·x)](0 bis ∞) = 1/2

Die linke Seite hat aus Symmetriegrunden auch 1/2 als Fläche, sodass insgesammt 1 heraus kommt.

Comments

Ich verstehe leider nicht so ganz, wie man auf die 1/2 kommt, wenn ich Zahlen für x einsetze, konvergiert das ganze nicht gegen 1/2, deswegen bin ich etwas verwirrt.

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Folgende schreibweise ist zwar nicht ganz korrekt weil wir unendlich eigentlich nicht einsetzen dürfen sondern nur den Grenzwert nach unendlich bilden dürfen. Es gibt aber recht gut das wieder was du berechnen musst. Rechne von mir aus mit dem Taschenrechner nach, wenn du unsicher bist. Für unendlich solltest du dann eine sehr, sehr große Zahl wählen.

(- 1/2·EXP(- 4·∞)) - (- 1/2·EXP(- 4·0))

= (- 1/2·0) - (- 1/2·1)

= 1/2

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Ah jetzt, danke!