Funktion auf die Eigenschaften einer Dichtefunktion überprüfen

Question

folgende Aufgabe bereitet mir einige Schwierigkeiten.

Kapitel 5: Stetige Verteilungen und Ihre Kennzeichen

[1] \( X \) sei eine stetige Zufallsvariable. Auferdem sei \( a>1 \) eine Konstante. Betrachten Sie die folgende Funktion:
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} {\frac{1}{x}} & {1 \leq x \leq a} \\ {0} & {\text { sonst }} \end{array}\right. $$
a) Für welches \( a \) ist \( f(x) \) eine Dichtefunktion?

b) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.

bei Aufgabe a) soll ich doch die Eigenschaften einer Dichtefunktion überprüfen, richtig? Das wäre ja zum einen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1 und jede Wahrscheinlichkeit >_ 0 sein muss. Da a >1 ist, ist die zweite Bedingung ja schon mal für alle Werte >1 erfüllt. Die anderen Bedingung würde ich jetzt mit Hilfe von Integration beweisen. Mein Plan wäre es jetzt, die Funktion von -∞ bis 1 und von 1 bis a zu integrieren.

Macht das irgendwo Sinn oder bin ich auf der komplett falschen Spur?

b) Dazu mehr wenn ich a gelöst habe

Vielen Dank

Comments

Im wesentlichen ist das richtig.
Wegen a>1 ist f(x) ≥ 0 und daher auch \[ \int_{-\infty}^{x}f\left(t\right)\text{d}t \ge 0. \]

Weiter muss die Integralgleichung
$$ \int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)\text{d}t = \int_{1}^{a}f\left(t\right)\text{d}t = 1$$gelöst werden.

Answer 1

bei Aufgabe a) soll ich doch die Eigenschaften einer Dichtefunktion überprüfen, richtig? Das wäre ja zum einen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1 und jede Wahrscheinlichkeit >_ 0 sein muss. Da a >1 ist, ist die zweite Bedingung ja schon mal für alle Werte >1 erfüllt. Die anderen Bedingung würde ich jetzt mit Hilfe von Integration beweisen. Mein Plan wäre es jetzt, die Funktion von -∞ bis 1 und von 1 bis a zu integrieren.

ich glaube, dass du schon bei a) das Integral von 1 bis a betrachten musst
 (ansonsten ist ja die Funktion eh gleich Null)
und das wäre 
                                    ln(a) - ln(1) = ln(a)

Damit  ln(a) = 1 ist  (Gesamtwahrscheinlichkeit ist 1)
muss    also a = e sein .

Die anderen Bedingung würde ich jetzt mit Hilfe von Integration beweisen. Mein Plan wäre es jetzt, die Funktion von -∞ bis 1 und von 1 bis a zu integrieren.

von -∞ bis 1 kannst du weglassen, da ist ja f(x)=0

du musst nur für alle t <=e von  1 bis t integrieren über  1/x dx

das gibt   ln(t) - ln(1)  =  ln(t)   Das ist also die Verteilungsfunktion

Comments

Das hatte ich eigentlich auch vor. Also mein Text den ich geschrieben habe, bezog sich lediglich auf Aufgabe a) :-)

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Was ich aber nicht ganz verstehe: Wieso ist ln(a) -ln(1) = ln(a)? Für a habe ich ja gar keinen konkreten Wert.

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ln(1)=0

und damit es eine Dichtefunktion muss ja die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein,

also ln(a) = 1 und damit a = e ungefähr 2,7