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Aufgabe WS1213:

Es sei \( X \) eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cl} c(x-2) & 2 \leq x \leq 3 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

Bestimmen Sie \( c \) derart, dass die obige Funktion die Eigenschaften einer Dichtefunktion erfüllt.

Bestimmen Sie den Erwartungswert von \( X \).


Ansatz:

Die Eigenschaften einer Dichtefunktion sind ja 1.) x>gleich 0 und die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion muss 1 sein.

Eine ähnliche Aufgabe habe ich schon einmal gemacht ( und hier auch vorgestellt). Dort habe ich die Funktion zunächst über die entsprechenden Grenzen integriert und dann = 1 gesetzt. Hier bin ich genauso vorgegangen, aber nicht auf das korrekte Ergebnis gekommen.

zunächst multipliziere ich die Funktion aus und erhalte cx - 2x. Wenn ich diese Funktion integriere erhalte ich $$\frac { c{ x }^{ 2 } }{ 2 } -2cx$$

Nun setze ich als obere Integrationsgrenze 3 und als untere Grenze 2 ein und erhalte

$$(\frac { c{ 3 }^{ 2 } }{ 2 } -2c3)-(\frac { c{ 2 }^{ 2 } }{ 2 } -2c2)$$

Wenn ich das Ganze nun vereinfache komme ich auf: -2c

Da -2c=1 gelten muss, ist c -0.5

Die Lösung ist allerdings c=2

Was genau habe ich falsch gemacht?


Nachtrag:

Ich sehe gerade, es muss cx - 2c sein!

Avatar von

Offenbar hat sich der erste Teil der Frage ja geklärt. mit cx - 2c:

Vergleiche sonst mal hiermit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+c*%28x-2%29+from+2+to+3

Die erste Aufgabe konnte ich lösen (c bestimmen).

Um den Erwartungswert zu bestimmen gilt:

$$\int _{ 2 }^{ 3 }{ x*f(x) } $$

Auf die Aufgabe bezogen wäre das also:

$$E(X):\int _{ 2 }^{ 3 }{ { cx }^{ 2 }-2cx } $$

Ich komme auf

(cx3)/3 - (2cx2)/2

Wenn ich jetzt die Obergrenze - Untergrenze berechne erhalte ich nach einigen Schritten

(9c-9c) - (8c)/3 - (8c)/2

Jetzt weiß ich nicht wirklich weiter. 9c-9c = 0, sodass noch  (8c)/3 - (8c)/2 übrig bleibt. Sollte ich jetzt die Brüche auf einen Nenner bringen um sie zu subtrahieren? Aber das c muss ja auch noch verschwinden.

Grüße

3 Antworten

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∫(c·(x - 2), x, 2, 3) = c / 2 = 1 --> x = 2

E(X) = ∫(x·2·(x - 2), x, 2, 3) = 8/3

Avatar von 487 k 🚀
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Die erste Aufgabe konnte ich lösen (c bestimmen)
und der Wert, den du für c bestimmt hast (ich glaube es ist c=2)
den musst du jetzt bei

(9c-9c) - (8c)/3 - (8c)/2

einsetzen, und dann hast du doch deinen Erwartungswert .

Avatar von 289 k 🚀
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Hi,
bis zur Integration stimmt alles. Das ausrechnen des bestimmten Integrals hat Fehler. \( c = 2 \) und kann später eingesetzt werden.
Du hast berechnet
$$  \left[ c\frac{x^3}{3} - 2c\frac{x^2}{2} \right]_2^3 = c\frac{3^3}{3}-2c\frac{3^2}{2} - \left( c\frac{2^3}{3}-2c\frac{2^2}{2} \right) $$
Und das ergibt
$$  2\cdot 3^2 - 2\cdot 3^2 - \frac{2^4}{3}+2^3 = \frac{8}{3} $$

Avatar von 39 k

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