Aufgabe WS1213:
Es sei \( X \) eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
\( f(x)=\left\{\begin{array}{cl} c(x-2) & 2 \leq x \leq 3 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)
Bestimmen Sie \( c \) derart, dass die obige Funktion die Eigenschaften einer Dichtefunktion erfüllt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von \( X \).
Ansatz:
Die Eigenschaften einer Dichtefunktion sind ja 1.) x>gleich 0 und die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion muss 1 sein.
Eine ähnliche Aufgabe habe ich schon einmal gemacht ( und hier auch vorgestellt). Dort habe ich die Funktion zunächst über die entsprechenden Grenzen integriert und dann = 1 gesetzt. Hier bin ich genauso vorgegangen, aber nicht auf das korrekte Ergebnis gekommen.
zunächst multipliziere ich die Funktion aus und erhalte cx - 2x. Wenn ich diese Funktion integriere erhalte ich $$\frac { c{ x }^{ 2 } }{ 2 } -2cx$$
Nun setze ich als obere Integrationsgrenze 3 und als untere Grenze 2 ein und erhalte
$$(\frac { c{ 3 }^{ 2 } }{ 2 } -2c3)-(\frac { c{ 2 }^{ 2 } }{ 2 } -2c2)$$
Wenn ich das Ganze nun vereinfache komme ich auf: -2c
Da -2c=1 gelten muss, ist c -0.5
Die Lösung ist allerdings c=2
Was genau habe ich falsch gemacht?
Nachtrag:
Ich sehe gerade, es muss cx - 2c sein!
