Zeigen mit vollständiger Induktion:

Question

Aufgabe:

Beweisen;

Für alle n ∈ N gilt: ggT(4n² + 1, 2n +1) = 1

Das ist meine Lösung:

Zeigen mit vollständiger Induktion:

Für n=1 ist ggT(5,3) = 1.

Gilt ggT(4n^2 + 1, 2n + 1) = 1 für alle natürliche Zahlen bis enschließlich n, dann folgt: Sei d ein gemeinsamer Teiler von 4n^2 + 2 und 2n + 2.

Ist meine Lösung richtig?

Comments

ggT(4n² + 1, 2n + 1) = ggT((4n² + 1) - (2n - 1)·(2n + 1), 2n + 1) = ggT(2, 2n + 1).

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Wie hast du es gdrechnet? Kannst du es bitte eklären?

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Bekanntlich gilt ggT(a, b) = ggT(a - k·b, b). Hier ist a = 4n² + 1 und b = 2n + 1. Wähle k = 2n - 1.

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Alles klar danke

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Nur noch eine kurze Frage: Du hast geschrieben k = 2n-1. Also k ist eigentlich gleich b aber mit einem anderen Vorzeichnen. Also 2n+1.

Ist das immer so? Also ist k immer b aber mit einem anderen Vorzeichnen?

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Nein. Wie das k zu wählen ist, kann man nicht allgemein sagen. Hier ist es so gewählt worden, dass die Lösung offensichtlich wird. Aber so einfach ist es natürlich nicht immer.

Answer 1

Jetzt geht es doch erst los

Sei d ein gemeinsamer Teiler von 4(n+1)^2 + 1 und 2(n+1) + 1

Dann musst du zeigen, dass d=1 ist.