Beweis ggt(a,b) Linearkombination a,b,c ganze Zahlen.

Question

Hallo, ich habe einmal eine Frage, ich weiß nicht ob mir diese hier überhaupt beantwortet wird, da ich noch keinen Ansatz dazu habe. Aber da fragen nichts kostest und das Forum mir schon öfters den ein oder anderen Hinweis gegeben hat habe ich mich halt einmal registriert. Und da es ja nicht der Einzige Beweis auf meinem Übungsblatt ist, tut sich vielleicht jemand die Arbeit an, mir das nachfolgende Beispiel zu erklären. Ich wäre auf jedenfalls sehr Dankbar.

Zum Beispiel:

a, b und c seien ganze Zahlen mit ggt(a,b)=1. Wenn a und b Teiler von c sind, so teilt auch das Produkt ab die Zahl c. - Beweis! (Gehen Sie wie folgt vor: Da ggt(a,b)=1 gilt, findet man x und y aus den ganzen Zahlen mit ax+by=1. Damit folgt...)

So meine Frage ist nun wie gehe ich da vor?

Also, ax + by = 1, das ist die Linearkombination vom ggt=1, nicht?

Dann muss ich wahrscheinlich hinschreiben das a|c und b|c oder a und b teilt c, da fängts jetzt schon an...

Daher wie gesagt wie führe ich für das obige Beispiel einen Beweis? Ich bedanke mich jetzt schon für etwaige Hilfe!!!

Comments

Hallo

du weisst c=a*m, c=n*b;  n,m ganz daraus a, b einsetzen

teilbar sollte man immer so beschreiben , dann findet man meist weiter

lul

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Woher nimmst du n und m?

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Wenn ich jetzt zum Beispiel acx+bcy=c schreibe, dann habe ich ja das c als Element der ganzen Zahlen hier mal eingebracht, aber wie komme ich dann am ende auf ab|c? Oder ist dieser Gedanke sowieso falsch?

Answer 1

Wenn a und b Teiler von c sind

(*) Dann gibt es ein \(m\in \mathbb{Z}\) mit \(am = c\) und ein \(n\in \mathbb{Z}\) mit \(bn = c\).

ax+by=1

Dann ist \(c\cdot (ax+by) = c\) also

        \(cax + cby = c\).

Wegen (*) gibt es ein \(m\in \mathbb{Z}\) und ein \(n\in \mathbb{Z}\) mit

      \(bnax + amby = c\).

Also gibt es ein \(m\in \mathbb{Z}\) und ein \(n\in \mathbb{Z}\) mit

      \(abnx + abmy = c\).

Somit gibt es ein \(m\in \mathbb{Z}\) und ein \(n\in \mathbb{Z}\) mit

      \(ab(nx + my) = c\).

Comments

Vielen Dank, einmal!

Es ist für mich fast ganz nachvollziehbar nur eine Frage hätte ich noch, also nur damit ich es auch richtig verstanden habe.

Zuerst einmal weiß ich jetzt woher n und m kommt, vielen dank dafür einmal.

Beim Ergebnis also ab(nx+my)=c, wenn ich das jetzt umforme auf ab teilt c, dann wäre es ja (nx+my) = c/ab, nicht? Heißt das jetzt nx+my ist das Ergebnis von c/ab, also das ist im Endeffekt das was bei dieser Aufgabe gesucht ist?

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so teilt auch das Produkt ab die Zahl c

Die Definition von

        p ist ein Teiler von q

lautet

        Es gibt eine ganze Zahl r, so dass p·r = q ist.

\(ab(nx + my) = c\)

Das heißt

        Es gibt eine ganze Zahl r, so dass ab·r = c ist (nämlich r = nx + my).

Laut obiger Definition gilt also

        ab ist ein Teiler von c.

wenn ich das jetzt umforme

Ich wüsste nicht warum du das machen willst.

Außer vielleicht dass du eine andere Definition von Teilbarkeit hast:

        p ist ein Teiler von q wenn p/q eine ganze Zahl ist.

Problem an dieser Definition ist, dass man Brüche einführen muss bevor man über Teilbarkeit reden kann.

Erkundige dich, wie in deinen Unterlagen Teilbarkeit definiert ist.

nx+my ist das Ergebnis von c/ab

Betrachte das Zeichen "=" nicht als Ergebniszeichen. Das ist es nie gewesen, auch wenn Kinder es in den ersten sechs Schuljahren als Ergebniszeichen eingebläut bekommen.

Das Gleicheitszeichen bedeutet, dass auf seiner linken Seite der gleiche Wert steht wie auf der rechten.

also das ist im Endeffekt das was bei dieser Aufgabe gesucht ist?

In der Aufgabe sind überhaupt keine Zahlen gesucht. In der Aufgabe ist ein Beweis gesucht.

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Danke! Hab jetzt alles verstanden, aber das mit dem Gleichzeichen, das ist halt so in unseren Köpfen drin... Aber danke nochmals, hast mir wirklich sehr geholfen!