Zeige, dass x/(1+x^2) gleichmäßig stetig ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass x/(1+x^2) gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Es gilt f(xn) = x/(1+xn^2) -> x/(1+x0^2) = f(x0)

Außerdem existiert lim x -> unendlich f(x) . Wie rechnet man den aus?

Würde man mir diesen zwei Schritten, gleichmäßige Stetigkeit zeigen? Versteh vor allem das erste nicht so, wieso man damit normale Stetigkeit zeigt und ob das überhaupt so geht, das ist nämlich kürzer als das epsilon delta kriterium

Comments

Ja, es gibt das Kriterium: Für eine Funktion \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) folgt aus Stetigkeit und der Existenz der Grenzwerte für \(x \to \pm \infty\) gleichmäßige Stetigkeit. Aber, wie schon lul angemerkt hat, hast Du beides nicht (korrekt) nachgewiesen.

Answer 1

Hallo

Gleichmäßig stetig kann man nicht mit der Folgenstetigkeit  aufschreiben, nur mit δ, ε

indem du ein von x unabhängiges δ zu jedem ε findest. Sieh dir die Def. von gleichmäßig stetig dazu an.

Die Folgenstetigkeit hast du falsch und verkürzt hingeschrieben.

Gruß lul

Comments

Also zeigt man nicht mit

Es gilt f(xn) = x/(1+xn2) -> x/(1+x02) = f(x0) allgemein stetigkeit wenn xn -> x0 strebt?

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Es wäre doch \(f(x_n)=\frac{x_n}{1+x_n^2}\) und nicht \(f(x_n)=\frac{x}{1+x_n^2}\)!?

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Hallo

Folgenstetigkeit: zu zeigen für JEDE Folge xn->x0 gilt f(xn)->f(x0)

aber das zeigt nicht gleichmäsig stetig.

lul

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Darf man x0 allgemein lassen?

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ja, was denn sonst?

lul