Zeige dass f gleichmäßig stetig ist

Question

Aufgabe:

Zeigen  Sie:  Ist f:  [0,∞)−→[0,∞)  gleichmäßig  stetig  mit f(0)  =  0,  so  gibt  es  eine Konstante K >0 mit

f(x) ≤ 1 + K·x für alle x ∈ [0,∞)

Answer 1

Hallo,

wir haben \( |x - x'| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x')| < \varepsilon \).

Nun wählen wir für gegebenes \( x \) ein minimales \( n \) so, dass \( x < n \delta \). Damit ist \( x \geq (n-1) \delta \) und man findet \( n \leq \frac{x}{\delta} + 1 \). Dies nutzt man mit \( \Delta x = \frac{x}{n} \) in der Berechnung von:

\( f(x) = f(x) - f(0) \)
\( = |f(x) - f(0)| \)
\( = \left| \sum_{i=1}^{n} \left( f(i \Delta x) - f( (i-1) \Delta x) \right) \right| \)
\( \leq \sum_{i=1}^{n} \left| f( i \Delta x) - f( (i-1) \Delta x) \right| \)
\( < n \varepsilon \)
\( \leq (\frac{x}{\delta} + 1) \varepsilon \)
\( = \frac{\varepsilon}{\delta} x + \varepsilon \).

Wählen wir \( \varepsilon = 1 \), so erhalten wir die gesuchte Konstante \( K = \frac{1}{\delta} \) und \( f(x) < Kx + 1 \).

An dieser Stelle muss man bemerken, dass die Ungleichung echt ist. Damit impliziert sie, dass es kein \( x \) mit \( f(x) = Kx + 1 \) gibt.

Grüße

Mister