Wie genau soll ich die Induktion angehen?

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz wie ich bei dieser Aufgabe das mit dem ungleich 1 behandeln soll.. was soll ich genau bei dem Induktionsansatz dann einsetzen? 0, 2 oder direkt n+1 ? Mich verwirrt etwas die Aussage vor dem Summenzeichen oder generell das q. Ich weiß, dass man generell erstmal alles "aufspalten" soll. Bin aber etwas überfordert und weiß nicht ganz wie.

\( \forall_{n \geq 0} \forall_{q \neq 1} \quad \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \)

Answer 1

Für q=1 hätte der rechte Term die Form 0/0, deshalb kann diese Summenformel nicht angewendet werden wenn q = 1 gilt. Das hat also mit der Induktion an sich gar nichts zu tun.

Mache den Induktionsanfang mit dem ersten möglichen Wert (n=0).

Answer 2

Das ist eine bekannte Summenformel für geometrische Reihen mit dem konstanten Faktor q. Sie gibt für q=1 keinen Sinn, weil dann durch 0 dividiert würde.

Comments

Hier ist aber vorerst noch nichts unendlich.

Answer 3

Aloha :)

Für alle \(n\ge0\) und für alle \(q\ne1\) soll gezeigt werden, dass:$$S(q;n)=\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1\;;\;n\in\mathbb N_0$$Für \(q=1\) wird in der Formel der Nenner gleich Null, sodass die Division nicht definiert ist. Der Fall \(q=1\) ist aber trotzdem lösbar, denn:$$S(1;n)=\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{(n+1)-\text{mal}}=n+1$$Sei also für den folgenden Indkuktionsbeweis \(q\ne1\).

1) Verankerung bei \(n=0\):$$S(q;n)=S(q;0)=\sum\limits_{k=0}^0q^k=q^0=1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt \(n\to n+1\):

Wir haben die Behauptung für ein bestimmtes \(n\) bereits gezeigt, können also \(S(q;n)=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) als Induktionsvorassetzung (IV) für dieses \(n\) verwenden. So ausgerüstet betrachten wir

$$S(q;n+1)=\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^nq^k}_{=S(q;n)}+\underbrace{\sum\limits_{k=n+1}^{n+1}q^k}_{=q^{n+1}}=S(q;n)+q^{n+1}\stackrel{\text{(IV)}}{=}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}$$$$\phantom{S(q;n+1)}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{(1-q)\cdot q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}$$$$\phantom{S(q;n+1)}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}\quad\checkmark$$Ausgehend von der Richtigkeit der Behauptung für \(n\) haben wir gezeigt, dass die Behauptung auch für \(n+1\) gilt. In unendlicher Fortsetzung gilt die Behauptung daher für alle \(n\in\mathbb N_0\).