Und jetzt fehlt mir noch der Fall 3 mit n 4, aber ich weiß nicht wie ich den angehen bzw aufschreiben soll?

Question

Aufgabe:

Beweise Für alle n Element der natürlichen Zahlen: (n>4 =>2^n>n²)

Problem/Ansatz:

Ich hab jetz mal aufgeschrieben Für alle n Element der natürlichen Zahlen: (n<=4 =>2^n>n²)

Dann hab ich eine Fallunterscheidung gemacht:

1, n<=3

es folgt n+1<=4

2, n=4

es folgt 2^(n+1)>(n+1)², (da 2^(4+1)=32>(4+1)²=25)

Und jetzt fehlt mir noch der Fall 3 mit n>4, aber ich weiß nicht wie ich den angehen bzw. aufschreiben soll???

Answer 1

Zu zeigen

2^n > n^2 für n > 4

Induktionsanfang: n = 5

2^5 > 5^2
32 > 25
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

2^(n + 1) > (n + 1)^2
2·2^n > n^2 + 2·n + 1
2^n + 2^n > n^2 + 2·n + 1
n^2 + n^2 > n^2 + 2·n + n
n^2 > 3·n
n·n > 3·n
n > 3
wahr

Comments

Ist das jetzt der ganze Beweis oder nur Fall 3? also ohne Fallunterscheidung?

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Ok nein ich habs schon gesehen, dass ist Fall 3, aber wie kommt man von n²+2n+1 auf n²+2n+n?

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Es gilt doch

n^2 + 2·n + n > n^2 + 2·n + 1

D.h. wenn ich zeige

n^2 + n^2 > n^2 + 2·n + n

dann gilt erst recht

n^2 + n^2 > n^2 + 2·n + 1

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Ah ok ich verstehe danke :-)

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Hab mir das jz nochmal angesehen, muss man hier eigentlich eine Fallunterscheidung machen?

Kann man das nicht nur mit dem einen Schritt lösen, den du aufgeschrieben hast, also nur mit dieser Induktion ohne die anderen 2 Fälle?

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Doch. eigentlich kann man das mit nur dem Schritt machen, den ich notiert habe.

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Okay super dankeeee :-)

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Ist es in der Weise dann auch richtig:

IA: A(5)... das is klar

IV: Es sei n eine Zahl für die A(n) stimmt

IS: Zu zeigen: A(n) => A(n+1)

A(n+1): 2^(n+1)=2^n*2> 2*n², denn

2*n²=n²*n²> n²+2n+1 Dann rechnet man -n²

n²> 2n+1

Es folgt also 2^(n+1) > n^2 > 2n+1> n²+2n+1 =(n+1)²

Ist das auch richtig? Weil wie du oben n>3 hast mit den komm ich nicht mit, weil n>4 ka.

PS: sorry das ich ds jetz nohmal nachfrag

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Der Vergleich

2n+1 > n²+2n+1

stimmt doch nicht.

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Okay ich sehs gerade.

Ich hab den IS nochmal probiert:

Zu zeigen: A(n) => A(n+1)

A(n+1): 2^(n+1)=2ⁿ*2> 2*n², denn

2*n² =n²+n² > n²+2n+1

Es folgt also 2ⁿ⁺¹ >2*n²>n²+2n+1.

Aber ich glaube da fehlt no a Begründung warum jz 2*n² > n²+2n+1 ist, soviel ich jz schon von Beweisen weiß?

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2*n² > n²+2n+1  gilt genau dann, wenn

n² > 2n+1

Nun ist unser n ja mindestens 4...

Damit gilt n*n>3*n=2*n+n, also

n²>2n+n, was wiederum größer als 2n+1 ist.

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Danke euch, ich habe jz auch den IS von mathecoach verstanden.

Da n>4 ist und beim Induktionsschritt ja rauskommt n>3 ist das wahr wenn man 4 einsetzt :->

Answer 2

Gegenbeispiel:

2^3> 3^2 (falsch)

Die Aussage ist also falsch, wenn deinen Angaben stimmen.

Comments

Tut ma wirklich leid hab grad gesehen es heißt n>4  und nicht kleiner als Entschuldigung

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Nein also die Angaben stimmen doch, jetz war ich durcheinander sorry

Aber so wie du dacht eich mir es zu erst auch das die Aussage falsch ist, aber im Löser haben, die es so wie ich es dann gemacht habe mit Fall 1,2,3 gemacht, aber mit Fall 3 komm ich gar nicht zurecht. Da haben sie geschrieben

n>4, dann folgt zunächst n²>4n>2n+1 und hiermit nach IV 2^(n+1)=2n+2n>n²+n²>n²+2n+1=(n+1)², also 2^(n+1)>(n+1)². Somit gilt in jedem Fall n+1<=4 oder 2^(n+1)>(n+1)², d.h. n+1>4=> 2^(n+1)>(n+1)².

Answer 3

Wahrscheinlich ist das doch Quatsch. Wnn \( n \in \mathbb{N} < 4 \) gilt, kann ja \( n \) nur die Werte \( n = 1, 2, 3\) annehmen.

Dann gilt aber

\( 2 = 2^1 > 1^2 = 1 \)

\( 4 = 2^2 = 2^2 = 4 \) und

\( 8 = 2^3 < 3^2 = 9 \)

Die Aussage ist also nicht wahr.

Comments

Tut ma wirklich leid hab grad gesehen es heißt n>4  und nicht kleiner als Entschuldigung

Answer 4

Das riecht nach vollständiger Induktion.

$$2^5=32>25=5^2$$

Angenommen:

$$2^n>n^2$$

$$2^{n+1}=2*2^n>2*n^2>(n+1)^2$$

denn

(n+1)^2 = n^2+2n+1

Zu zeigen ist 2^n>2n+1

2^5=32 >11=2*5+1

Annahme

$$2^n>2n+1$$

$$2^{n+1}>2*(2n+1)=2*(n+1)+2n>2*(n+1)+1$$ wzzw