Betragsgleichungen - Zwei Optionen für Fallunterscheidung, welche würdet ihr mir raten?

Question

Ich will ja in Mathe besser wereden und repetiere gerade Algebra 2

Bei den Betragsgleichungen fiel mir eine etwas andere Art die zu lösen auf als die die ich mit der klassischen Fallunterscheidung kenne. 

Was kenn ich ?

| 2x - 4 | = 14

1. Fall ( 2x - 4 > 0 )

2x - 4 = 14
2x = 18 
x = 18/2 = 9

2. Fall ( 2x - 4 < 0 )

- ( 2x - 4 ) = 14
-2x + 4 = 14
-2x = 10 
x = -5


Was habe ich gesehen ?

Ich habe gesehen, dass folgendes gemacht wird. Und ich kenne diesen Vorgang nicht und frage mich was der Unterschied dabei ist?


| 2x - 4 | = 14

1. Fall:  2x - 4 = 14
2. Fall: 2x -4 = -14

Answer 1

die haben genau dasselbe gemacht wie du, bloß wurde

das - direkt von der linken zur rechten Seite gezogen.

Comments

Vielen Dank, hier wird die zweite Fallunterscheidung auf beide Seiten mit (-1) multipliziert, das sehe ich jetzt. 

Answer 2

2. Fall ( 2x - 4 < 0 )
- ( 2x - 4 ) = 14 | stimmt

oder
- ( 2x - 4 ) = 14  | * -1
2x - 4 = -14

Noch trickreicher aber ohne Fallunterscheidung
| 2x - 4 | = 14  | quadrieren
( 2x - 4)^2 = 14^2 | Wurzel
2x - 4 = ± 14
1)
2x - 4 = + 14
x = 9
2.)
2x - 4 = - 14
x = -5

Comments

Vielen dank ! Das mit dem quadrieren einer Betragsgleichung habe ich nie gesehen und scheint mir der etwas kompliziertere weg zu sein. Den zweiten Term konnte ich auch einfach mit (-1) multiplizieren, damit ich das selbe erhalte wie er. 

Das was ich heute gelesen hat mich jetz völlig verwirrt. Vielleicht sollte ich das einfach auf beide arten üben. Bis jetzt sage ich einfach okay, Betragsstriche durch klammern ersetzen, ein mal ein Plus vor die Klammer, bei der anderen Variante ein Minus vor der Klammer und losrechnen. 

Das Quadrieren auf beiden Seiten ist verwirrend, weil ich dann beim Wurzelziehen auf der Rechten Seite ein mal plus und minus machen muss, und links even nicht - dieser Fakt ist verwirrend.

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Bleib bei deinem ersten klassischen Lösungsweg
mit den Fallunterscheidungen.
Dieser ist sicher und führt zum Ziel.

Answer 3

Die zweite Möglichkeit nutzt das, was du von quadratischen Gleichungen kennst.

| 2x - 4 | = 14   | ^2

(2x - 4)^2 = 14^2     | √ 

2x - 4 = ± 14 

Die Zwischenzeile braucht man da nicht immer hinzuschreiben.

Wichtig: Erst überlegen, ob ein Resultat möglich ist. Der Betrag ist sicher nicht negativ, wenn rechts z.B. -14 steht, kannst du von Anfang an sagen, dass es keine Lösung gibt. 

 ~plot~ abs(2x- 4 ) ; 14; (2x-4)^2; 14^2; [[-11|15|-10|230]];x=-5;x=9 ~plot~

Die vertikalen Linien x=-5 und x=9 werden leider nicht bis ganz noch oben gezeichnet. Bitte selber verlängern. 

Comments

Vielen Dank Lu! 

Das mit dem Quadrieren und Wurzelziehen verwirrt mich, wenn ich 14 Quadriere und die Wurzel ziehe erhalte ich zwei Lösungen 14 und -14.

Wenn ich aber die Klammer quadriere und anschliessend radiziere, bleibt nur eine Lösung übrig, also nicht einmal -(...) und +(...). Das ist verwirrend. 

Wenn ich aber wie gewohnt die Begragsstriche bei der Fallunterscheidung durch Klammern ersetze, dann aber einmal die Variante mit einem + vor die Klammer und ein mal - vor die Klammer nehme, kann ich die Variante mit Minus -also wenn die Klammer kleiner Null ist - ein mal mit -1 multiplizieren, dann kriege ich das minus auf die andere Seite. 

(Sorry dass ich so viel texte ohne Terme zu schreiben, ich schreibe vom Handy aus und bin unterwegs) 

Answer 4

Deine zweitgenannte Variante

| 2x - 4 | = 14 
⇔  
2x - 4 = -14   oder   2x - 4 = +14  

entspricht der Definition des Betrages. Steht der Betrag aber beispielsweise nicht alleine, dann kann es praktischer sein, ihn so aufzulösen:

| 2x - 4 | + Irgendwas = 14 
⇔  
-(2x - 4) + Irgendwas = 14   oder   +(2x - 4) + Irgendwas = 14  

Auch das ist eigentlich nur eine Möglichkeit, die Definition des Betrages anzuwenden. Beide Varianten unterscheiden sich also eigentlich nicht wesentlich. Ich sehe auch keinen Grund, das Hinschreiben der beiden Fälle aus der Definition schon als "Fallunterscheidung" zu bezeichnen.

Comments

Sehe ich auch so. Ich wäre nie auf die Idee der Fallunterscheidung gekommen. "Scharf hinschauen zu Beginn" und dann gegebenenfalls die beiden Gleichungen gemäss Definition des Betrags hinschreiben. 

Hast du noch einen Tipp, wie man in deiner "Irgendetwas" Verallgemeinerung keine Scheinlösungen vom Typ 

| 2x - 4 | = -14  

⇔   
2x - 4 = -(-14)   oder   2x - 4 = +(-14)   

erzeugt? Bei mir gilt hier: Zum Schluss Resultat in der gegebenen Gleichung einsetzen und gegebenenfalls Scheinlösungen streichen. 

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Das Auflösen des Betrages gemäß seiner Definition ist eine Äquivalenzumformung. Es werden dabei also keine Scheinlösungen erzeugt.

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Logisch, dass nach Definition keine Scheinlösungen erzeugt werden. Was  ich hingeschrieben habe, entspricht ja auch nicht der Definition und ist daher falsch.

" | 2x - 4 | = -14   

⇔    
2x - 4 = -(-14)   oder   2x - 4 = +(-14)    "

Zu diesem Fehler fällt dir auch nicht mehr ein, als "einfach aufpassen, dass das nicht passiert" (?)  

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@ Lu:

| 2x - 4 | = -14   

wenn x>2, dann steht da

2x-4 =-14 -> x=5 -> Widerspruch

wenn x<2 :

2x-4 =14 -> x=9 -> Widerspruch 

Answer 5

Noch eine Möglichkeit:    Quadrieren und 3. Binom

| 2x - 4 | = 14 |^2

(2x - 4)^2=14^2  | -14^2

(2x - 4)^2-14^2=0

[(2x - 4)+14]*[(2x - 4)-14]=0

[2x +10]*[2x - 18]=0

1.) [2x +10]=0

x₁=-5

2.)[2x - 18]=0

x₂=9