Zeigen Sie: T ist injektiv ⇔ (T(v) = 0 ⇒ v = 0)

Question

ich weiß bei folgender Aufgabe nicht, wie ich sie lösen soll.

Seien V, W Vektorräume und T : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:

T ist injektiv ⇔ (T(v) = 0 ⇒ v = 0)

Danke im voraus

Answer 1

Bei jeder lin. Abbildung gilt T(0)=0. Wenn also T  injektiv ist,

ist 0 das einzige Element von V, das auf 0 abgebildet wird,

also ==>    (T(v) = 0 ⇒ v = 0).

ungekehrt:

Sei T lin. Abb. mit   (T(v) = 0 ⇒ v = 0).

Seien x,y ∈V mit T(x) = T(y)

               ==>  T(x) - T(y) = 0

wegen linear ==>  T(x-y) = 0

Vor. ==>          x-y = 0

==>              x = y. Also T injektiv.

Comments

Hallo,

könntest du vielleicht erklären, warum bei jeder linearen Abbildung T(0) = 0 gelten muss? (erster Satz). Danke im Voraus.

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In jedem vektorraum ist der 0-Vektor, also gilt

T(0) = T(0+0)  wegen Linearität

T(0)        = T(0) + T(0)    | -T(0)

       0  = T(0)