Momentane Änderungsrate und lineare Näherung berechnen

Question

Aufgabe:

Momentane Änderungsrate und lineare Näherung berechnen

Die Verkaufszahlen bis zum Tag t nach Markteinführung für eine neue Schokoladentorte werden näherungsweise von der Funktion f mit f(t) = 4- 400/t beschrieben (t≥ 200, f(t) in Mio. Tafeln).

a) wie viele Tafeln wurden in den ersten 800 Tagen nach Markteinführung verkauft ?

b) es gilt f‘(t) = 400/t^2. bestimmen sie f‘(800) und erklären Sie, was dieser Wert bedeutet .

c) Berechnen Sie die Verkaufszahlen in den ersten 807 Tagen. Berechnen Sie diese Verkaufszahl auch näherungsweise durch die lineare Näherung mithilfe von f‘(800).

Hallo ! Wir hatten in der Schule bisher nur Ableitungen mit Funktionen und so , aber nicht mit Sachsituationen.  Wie soll man in dieser Aufgabe vorgehen ? Kann mir jemand bitte den Rechenweg genau erklären ? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Die Verkaufszahlen bis zum Tag t nach Markteinführung für eine neue Schokoladentorte werden näherungsweise von der Funktion f mit f(t) = 4- 400/t beschrieben (t≥ 200, f(t) in Mio. Tafeln).

Das heißt: Wenn du für t eine Zahl größer als 200 einsetzt bei f(t) = 4- 400/t

dann bedeutet das Ergebnis:

Die Verkaufszahlen bis zum Tag t nach Markteinführung

also wie viele Tafeln (in Mio) bir dahin verkauft worden sind. Also für

" wie viele Tafeln wurden in den ersten 800 Tagen nach Markteinführung verkauft"

brauchst du nur f(800) zu berechnen, das gibt 3,5 also 3,5 Mio Tafeln!

b)  bestimmen sie f‘(800) und erklären Sie, was dieser Wert bedeutet .

f ' (800) = 400 / 800^2 = 400 / 640000 =0,000625

Das ist die momentane Änderungsrate am 800. Tag, also

an dem Tag wurden 0,000625 Mio = 625 Tafeln verkauft.

c) f(807)=3,50434

Näherung: f(807) ≈ f(800) + 7*f'(800) = 3,5 + 7*0,000625 ≈3,50438

Comments

Vielen Dank ! Das hat mir weitergeholfen :)

Answer 2

a) wie viele Tafeln wurden in den ersten 800 Tagen nach Markteinführung verkauft?

f(800) = 4 - 400/800 = 3.5 ME = 3.5 Millionen Tafeln

b) Es gilt f‘(t) = 400/t^2. Bestimmen Sie f‘(800) und erklären Sie, was dieser Wert bedeutet.

f‘(800) = 400/800^2 = 0.000625 ME/Tag = 625 Tafeln/Tag
Das zu dem Zeitpunkt c. 625 Tafeln pro Tag verkauft werden.

c) Berechnen Sie die Verkaufszahlen in den ersten 807 Tagen. Berechnen Sie diese Verkaufszahl auch näherungsweise durch die lineare Näherung mithilfe von f‘(800).

f(807) = 4 - 400/807 = 3.504337050 ME = 3504337 Tafeln

t(x) = f'(800)*(x - 800) + f(800) = 0.000625·x + 3
t(807) = 0.000625·807 + 3 = 3.504375 ME = 3504375 Tafeln