Äquivalenzrelation Ähnlichkeit ÜbergangsMatrix Invertierbarkeit

Question

2. Aufgabe Sei K ein Körper. Zwei Matrizen A und B aus K^n×n heißen ähnlich,
wenn es Basen X und Y von K^n sowie eine lineare Abbildung f : K^n → K^n gibt, so
dass A = A(f )XX(ÜbergangsMatrix) und B = A(f )YY(ÜbergangsMatrix) gilt.

(i) Zeigen Sie, dass A und B genau dann ähnlich sind, wenn eine invertierbare Matrix P ∈ GLn(K) existiert mit B = P.A.P^−1.

(ii) Zeigen Sie, dass die Relation A ∼ B ⇔ A und B ähnlich eine Äquivalenzrelation auf K^n×n ist.

(iii) Beweisen oder widerlegen Sie: Für jedes n ∈ N und jedes A ∈ GLn(K) gilt
A ∼ A−1.
#Brauche hier bitte Helfe.#

Problem/Ansatz:

Also zu (i),
"=>"
sei A und B ähnlich und sei Pxy(ÜbergangsMatrix) = A(id)xy(ÜbergangsMatrix), dann gilt:
B = P.A.P^−1
= A(id)xy . A(f)XX . A(id)yx
= A(id°f)xy . A(id)yx
= A(id° f ° id)yy = A(f)yy

So habe ich bei (i) bei "=>" gemacht und ob es richtig ist, bin ich mir nicht ganz sicher.
Außerdem weiß nicht genau, wie ich dann "<=" zeigen kann.

(ii), und (iii) da habe ich leider gar keinen Ansatz dafür.

Answer 1

Verwende (i) A ∼ B <=> eine invertierbare Matrix P ∈ GLn(K) existiert mit B = P.A.P^−1.

Dann musst du für (ii)n die 3 Eigenschaften der Äquiv. rel zeigen:

1. reflexiv: Für alle A ∈ K^n×n gilt A ∼ A. Ja, die Matrix P ist die Einheitsmatrix.

2. symmetrisch  A ∼ B ==>  B ∼ A

A ∼ B ==>   P ∈ GLn(K) existiert mit B = P.A.P^−1.

Dann ist auch Q=P^-1 ∈ GLn(K) und es gilt  A = Q.A.Q^−1.

3.transitiv. Seien also A,B,C ∈ Kn×n mit

A ∼ B und B ∼ C  ( zu zeigen A ∼ C )

==>  P ∈ GLn(K) existiert mit B = P.A.P^−1

    und  Q ∈ GLn(K) existiert mit C = Q.B.Q^−1.

==>   C = Q.B.Q^−1 = Q.(P.A.P^−1).Q^−1.

                           =(Q.P).A.(P^−1.Q^−1)

 und mit P,Q ist auch P*Q ∈ GLn(K) und

(P^−1.Q^−1) = (PQ)^-1  

(iii) Wäre es so, dann gäbe es zu jedem A ∈ GLn(K) ein A ∈ GLn(K)

mit A = P * A^(-1) * P^(-1)

<=>   P^(-1) *A =  A^(-1) * P^(-1) = (P*A)^(-1)

Und das stimmt schon nicht bei

1   1
0   1

und

0  1
1  1

Comments

Über welche Frage reden Sie grade? Ich bin durch Ihre Antwort verwirrt grade.

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Das ist mal erst Teil (ii). Jetzt auch (iii).