Aloha :)
Da die Koordinaten der Basisvektoren bezüglich der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^4\) bekannt sind, wissen wir, wie die Transforamtionsmatrizen von \(A\to S\) und von \(\overline A\to S\) aussehen:
$${_S}\mathbf{id}_A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\quad;\quad{_S}\mathbf{id}_{\overline A}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & -1 & 0\\0 & -1 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)$$
Die Übergangsmatrix von \(A\to\overline A\) können wir daraus bestimmen:$${_{\overline A}}\mathbf{id}_A={_{\overline A}}\mathbf{id}_S\cdot {_{S}}\mathbf{id}_A=\left({_S}\mathbf{id}_{\overline A}\right)^{-1}\cdot {_{S}}\mathbf{id}_A$$$$\phantom{{_{\overline A}}\mathbf{id}_A}=\left(\begin{array}{rrrr}-1 & -1 & -1 & -2\\1 & 1 & 0 & 1\\0 & -1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1 & -1\\-1 & -1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$$$\phantom{{_{\overline A}}\mathbf{id}_A}=\left(\begin{array}{rrrr}-2 & 0 & -1 & 0\\2 & 1 & 0 & 0\\0 & -1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$
