Bestimmen Sie außerdem die Übergangsmatrix des Basiswechsels von B_{2} nach B_{1} .

Question

Für den Vektorraum der Polynome in \( \mathbb{R}[X] \) vom Grad \( \leq 3 \) seien die folgenden drei Basen gegeben:

\( B_{1}:=\left\{1-X^{2}+X^{3}, X-X^{2}, 1-X+X^{2}, 1-X\right\} \)
\( B_{2}:=\left\{1-X^{3}, 1-X^{2}, 1-X, 1+X^{2}-X^{3}\right\} \)
\( B_{3}:=\left\{1, X, X^{2}, X^{3}\right\} \)

Geben Sie die folgenden Komponentenvektoren in \( \mathbb{R}^{4} \) an:
\( \Theta_{B_{1}}(b) \) für alle \( b \in B_{1} \),
\( \Theta_{B_{3}}(b) \) für alle \( b \in B_{1} \),
\( \Theta_{B_{3}}(b) \) für alle \( b \in B_{2} \),
\( \Theta_{B_{1}}(b) \) für alle \( b \in B_{2} \),
\( \Theta_{B_{2}}(b) \) für alle \( b \in B_{1} . \)
Bestimmen Sie außerdem die Übergangsmatrix des Basiswechsels von \( B_{2} \) nach \( B_{1} \).

Answer 1

Geben Sie die folgenden Komponentenvektoren in \( \mathbb{R}^{4} \) an:

\( \Theta_{B_{1}}(b) \) für alle \( b \in B_{1} \),

also so : \( \Theta_{B_{1}}(1-x^2-x^3) =\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
          \( \Theta_{B_{1}}(x-x^2) =\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
 \( \Theta_{B_{1}}(1-x+x^2) =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)
\( \Theta_{B_{1}}(1-x) =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

\( \Theta_{B_{3}}(b) \)

also so \( \Theta_{B_{1}}(1-x^2-x^3) =\begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\-1 \end{pmatrix} \)

Denn du musst ja jetzt \( 1-x^2-x^3   \) mit den Basiselementen von B3 darstellen

                        Das gibt 1*1 + 0*x +(-1)*x^2 +(-1)*x^2
und die dabei benutzten Faktoren 1 0 -1 - 1 sind die Koordinaten.
etc.