Sei n ∈ N mit ggT(n, 35) = 1. Dann ist n^(12) ≡ 1 (mod 35).

Question

Aufgabe

Sei n ∈ N mit ggT(n, 35) = 1. Dann ist n¹² ≡ 1 (mod 35).

Problem/Ansatz:

Also für n=3 ist ggT(3,35)=1 und auch 3¹² ≡ 1(mod 35).

Aber wie zeige ich das?

Answer 1

Nach dem chinesischen Restsatz ist

\(Z/35Z\cong Z/5Z\times Z/7Z\). Für die prime

Restklassengruppe gilt dann \((Z/35Z)^*\cong (Z/5Z)^*\times (Z/7Z)^*\).

Die beiden Faktoren haben die Gruppenordnung 4 und 6 und

sind zyklisch. Daher hat das direkte Gruppenprodukt den Exponenten

kgV(4,6)=12.