p und q sind Primzahlen. Beweis p|q dann gilt p=q

Question

Hallo, hab eine kurze Frage zur Teilbarkeit.

Wenn p|q (also p, q teilt), und sowohl p als auch q Primzahlen sind, wie kann ich dann beweisen, das p=q ist?

Comments

Primzahlen q habe nach Definition nur die Teiler 1 und q

Wenn p ein Teiler von q ist und p selbst eine PZ ist, wie viele der beiden obigen Möglichkeiten bleiben dann für p übrig?

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Also dann würde noch die eins übrig bleiben, nicht? Aber wie forme ich daraus einen Beweis?

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Oder genügt das wenn ein Beweis gefordert wird, das ich dann einfach hinschreibe, eine Primzahl kann nur durch sich selbst oder eins geteilt werden und dadurch ist p gleich q. Wobei wenn sie ja durch eins auch geteilt werden kann, dann macht ja wieder p = q was in der Angabe steht keinen Sinn...

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Ist 1 eine Primzahl?

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Nein, die 1 hat nur einen Teiler, nämlich sich selbst, daher nicht.

Also jetzt verstehe ich, da p und q Primzahlen sind, und p|q teilt, muss p immer q sein. Gut, das habe ich jetzt einmal.

Aber ist das jetzt ein mathematisch korrekter Beweis, wenn ich das einfach so hinschreibe?

Oder wie soll ich das sonst aufschreiben?

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Kommt ja immer auch bisschen auf die Notation eurer Vorlesung an und was du voraussetzen kannst.

Seien p, q Primzahlen und p | q

Da q eine Primzahl ist, ist die Menge der Teiler von q gerade T(q) = {1, q}. Wegen p | q ist p in T(q)={1,q} also gilt

p=1 oder p=q

Da p Primzahl und 1 keine Primzahl muss p≠1 sein und somit

p = q

gelten.

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Danke, wenn du es als Antwort postest, dann kann ich es noch makieren, falls wer anders die selbe Frage hat wie ich.

Answer 1

Indirekter Beweis, Annahme p≠q:

Aus p∈ Primzahlen folgt

(1) p≠1.

Aus p|q und der Annahme p≠q: folgt

(2) p<q.

Aus (1) und (2) folgt

(3) 1<p<q

Damit hätte q die 3 Teiler 1, p und q und könnte keine Primzahl sein.