Aloha :)
Wir tasten das Volumen \(A\) mit Hilfe von Zylinderkoordinaten ab:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in\left[0\bigg|\frac1r-1\right]$$
Die zu integrierende Funktion ist etwas pathologisch, weil der Faktor \(\operatorname{max}(x;y)\) darin auftaucht. Wenn wir zuerst über \(d\varphi\) und dann erst über \(dr\) integrieren, also \(\varphi\) laufen lassen und \(r\) dabei festhalten, können wir schreiben:$$\operatorname{max}(x;y)=\operatorname{max}(r\cos\varphi\,;\,r\sin\varphi)=r\cdot\operatorname{max}(\cos\varphi;\sin\varphi)$$Um die Maximum-Funktion aufzulösen, überlegen wir uns, an welchen Stellen die Cosinus- und die Sinusfunktion gleich sind:$$\sin\varphi=\cos\varphi\implies\tan\varphi=1\implies\varphi=\arctan(1)+\mathbb Z\pi=\frac{\pi}{4}+\mathbb Z\pi$$Der Summand \(\mathbb Z\pi\) resultiert aus der \(\pi\)-Periode der \(\tan\)-Funktion. Im Integrationsintervall \([0;2\pi]\) haben wir also an den Stellein \(\frac\pi4\) und \(\frac{5\pi}{4}\) Gleichheit der beiden Winkelfunktion. Daher gilt:$$\operatorname{max}(x;y)=r\cdot\operatorname{max}(\cos\varphi;\sin\varphi)=\left\{\begin{array}{ll}r\cos\varphi &\text{falls }\varphi\in\left[0;\frac\pi4\right]\\[1ex]r\sin\varphi &\text{falls }\varphi\in\left]\frac\pi4;\frac{5\pi}{4}\right]\\[1ex]r\cos\varphi &\text{falls }\varphi\in\left[\frac{5\pi}{4};2\pi\right]\end{array}\right.$$
~plot~ cos(x) ; sin(x) ; x=pi/4 ; x=5pi/4 ; x=2pi ; [[0|7|-1,1|1,1]] ~plot~
Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) in Zylinderkoordinaten haben wir alles, um das Integral zu formulieren:
$$I=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}}\cos\varphi\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{4}}\sin\varphi\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\left[\sin\varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\left[\cos\varphi\right]_{\frac\pi4}^{\frac{5\pi}{4}}+\left[\sin\varphi\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}r^2z\left(\left(\frac{1}{\sqrt2}-0\right)-\left(-\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}\right)+\left(0+\frac{1}{\sqrt2}\right)\right)dz\,dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\int\limits_{z=0}^{\frac1r-1}2\sqrt2r^2z\,dz\,dr=\int\limits_{r=0}^1\left[\sqrt2r^2z^2\right]_{z=0}^{\frac1r-1}dr=\int\limits_{r=0}^1\sqrt2r^2\left(\frac1r-1\right)^2dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^1\sqrt2\left(1-r\right)^2dr=\left[\frac{\sqrt2}{3}(r-1)^3\right]_0^1=\frac{\sqrt2}{3}$$
