Wie beweise ich, dass das eine Basis ist?

Question

Aufgabe:

\(V\) endlich dimensionaler \(K\)-Vektorraum und \(B = \{v_1, ..., v_n\}\) eine Basis von \(V\). Sei \(W\) ein Vektorraum, der lineare Abbildungen von \(V\) nach \(K\) enthält. Für \(i, j \in \{1, ..., r\}\) definieren wir

\(\phi_i \in W, \phi_i(v_j) = \delta_{ij} = 1\), falls \(i = j\) und \(0\) sonst

Zu beweisen ist, dass \(B := \{\phi_1, ..., \phi_r\}\) eine Basis von \(W\) ist

Zeige außerdem: Wenn \(V\) unendlichdimensional ist, liefert die obige Konstruktion kein Erzeugendensystem von \(W\)


Problem/Ansatz:

Ich kann mir schwer vorstellen, wie so eine Basis aussehen soll... Also wie ich mit den Abbildungen was erzeugen kann.. Kann mir wer helfen?

Answer 1

Hallo

du musst doch  zeigen, dass du jeden beliebigen Vektor aus V durch eine Linearkombination von Φr  abbilden kannst die  Φ sind linear also Φ(a*v)=a*Φ(v) und Φ(v1+v2)=Φ(v1)+Φ(v2)

Gruß lul

Comments

du musst doch nur

Für dich mag das einfach sein und das Wort "nur" daher berechtigt. Wenn es dem Fragesteller ebenso leicht fiele, hätte er sich wohl nicht an das Forum gewandt.
So erscheint deine Formulierung (die man hier leider viel zu oft findet) wenig einfühlsam.

Im übrigen solltest du auch über den Inhalt deiner Antwort noch mal nachdenken.

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Hallo

habe "nur" nach deinem Hinweis entfernt, werde es seltener benutzen, das nur war gemeint "es ist gar nicht so schwer"

lul