Besuchszeiten, Perioden, Markovkette, irreduzibel

Question

Aufgabe 2: Besuchszeiten und Perioden.
(a) Für die Markovkette mit \( M=\{1,2, \ldots, 6\} \) und \( p=\left(\begin{array}{ccccc}0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & 0 & 0 & 0 & 0 & *\end{array}\right) \) (Hier stehen \( * \) jeweils für positive reelle Zahlen.) Begründen Sie, dass die Markov-Kette irreduzibel und aperiodisch ist. Bestimmen Sie \( I_{x} \) für alle \( x \in\{1,2, \ldots, 6\} \).
(b) Geben Sie ein Beispiel für eine Markov-Kette, die irreduzibel ist und jeder Zustand die Periode 7 hat.
(c) Geben Sie ein Beispiel für eine Markov-Kette, in der es Zustände mit unterschiedlichen Perioden gibt.

Comments

Was für Besuchszeiten? Da fehlt etwas Kontext.

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Das war die Überschrift der Aufgabe…

Answer 1

Zu a)

Genau wie bei der anderen Aufgabe empfiehlt es sich zuerst einen Übergangsgraphen zu erstellen. Anhand des Graphen solltest du gut argumentieren können warum die MK irreduzibel ist.

Anschließend kannst du die Perioden der Zustände feststellen (Hinweis: Ist eine MK irreduzibel, dann haben alle Zustände die gleiche Periode).

Mit der bestimmten Periode kannst du dann argumentieren, dass die MK aperiodisch ist.