Verwenden Sie die LU-Zerlegung, um die Lösungen der linearen Gleichungssysteme zu berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die folgende \( 3 \times 3 \)-Matrix

\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 6 \\ 4 & 2 & 2 \end{array}\right) \)

Verwenden Sie die LU-Zerlegung, um die Lösungen der linearen Gleichungssysteme \( A x=b \) und \( A x=c \) mit \( b=(8,16,24)^{t} \) und \( c=(3,-2,2)^{t} \) zu berechnen.
Problem/Ansatz:

Ich habe die LU zerlegung gemacht

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 6 \\ 4 & 2 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right) \)

meine Frage ist jetzt wie ich damit mit b anfangen kann((

Answer 1

siehe https://www.geogebra.org/m/c94bmjuy

Du hast L R x = b zerlegt in L y = b und R x = y, aus L

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\4&1&0\\4&3&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}y1\\y2\\y3\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}8\\16\\24\\\end{array}\right)   \)

Lösen durch vorwärts einsetzen

\(\small \left(\begin{array}{r}y1\\4 \; y1 + y2\\4 \; y1 + 3 \; y2 + y3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}8\\16\\24\\\end{array}\right)\)

in R

\(\small   \left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\0&-2&-6\\0&0&8\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}8\\-16\\40\\\end{array}\right)  \)

Rückwärts einsetzen

\(\small \left(\begin{array}{r}x1 + 2 \; x2 + 3 \; x3\\-2 \; x2 - 6 \; x3\\8 \; x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}8\\-16\\40\\\end{array}\right)\)

Comments

warum ist den da -16 und nicht 16 und nicht mehr 24 sondern 40?

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x 1 \\ x 2 \\ x 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}8 \\ -\frac{16}{40}\end{array}\right) \)

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Weil das die Folge von y1=8 und 4 y1 + y2 = 16 ist

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ah ok danke)

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und wie wird es fur c = 3,−2, 2 aussehen?

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also ich habe am ende (3,-14,32) 
stimmt es so fur c?

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Du tauschst (8,16,24) gegen (3,−2, 2) aus

und dann wie gehabt

L y = (3,−2, 2) ==> y= (3,-14,32) in R ==> x

\( \left\{  \left\{ x1 = 1, x2 = -5, x3 = 4 \right\}  \right\} \)