Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting angewandt auf eine Matrix A führt zur Zerlegung P A = LU

Question

Aufgabe: Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting angewandt auf eine Matrix A führt zur Zerlegung P A =
LU wobei P die Permutations-Matrix bezüglich der (Zeilen) Vertauschung ist, welche während
der Elimination erfolgt. Zeigen Sie,
a) dass die Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting invariant ist unter
i) Permutation von Zeilen in A (wobei wir den trivialen Fall vernachlässigen, bei dem
mehrere Elemente mit gleichen Absolutwerten in einer Spalte auftreten);
ii) Multiplication von A mit einem nicht-trivialen Skalar: σA, mit σ 6= 0.
b) dass die Gauß-Elimination mit Spalten-Pivoting, angewandt auf eine Matrix A* := AD, wobei
D eine Diagonalmatrix ist,
PA* = LU,
ergibt mit U*= UD.
Sind diese Ergebnisse analog auch für Zeilen-Pivoting (d.h. Vertauschung von Spalten) gültig?

Problem/Ansatz: Bei a) würde ich beweisen das die L U Matrizen nach dem Pivoting lineare Transformationen sind, und bei b) habe ich keine wirkliche Idee.

Answer 1

Hm,

vielleicht hilft

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/vbrw8pe2

zur Untersuchung des Verfahrens und zur Darstellung des Algorithmus?

Das Spaltenpivot-Verfahren führt auf L R = P A mit Zeilenpivot erhält man L R = P A Q

es gilt P^T =  P^-1, Q^T =  Q^-1
für eine Permutationsmatrix (Elementarmatrix) einer Zeilen- oder Spaltenvertauschung P_i P_i = id

In dem Beispiel wird

L3 P3 L2 P2 L1 P1 A = R

um L darzustellen gruppiert man um

L3 (P3 L2 P3) (P3 P2 L1 P2 P3) P1 A = R

P_i sind die Permutationsmatrizen und L_i sind Gaußschritt-Matrizen (zeilen-additionen) eine Folge von Elementarmatrizen!

Comments

Hallo, erstmal vielen Dank für die Antwort, also ich verstehe das Verfahren, man versucht die Matrix A durch Matrizen womit sich leichte arbeiten lässt auszudrücken. Der link war sehr hilfreich, ich könnte den Beweis so formulieren wie der Ganze Vorgang in GeoGebra um zu zeigen das PA=LU ist oder? Ich verstehe nicht was du hier machen wolltest, also hast du vielleicht versucht mir zu zeigen das die Ergebnisse auch mit Spalten pivoting gültig sind? LG

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Ich wollte einen Hinweis auf die Verwendung von Elementarmatrizen zur Darstellung des Algorithmus geben, weil ich diese (und ihre Eigenschaften) als Beweis Idee sehe?

hab aber jetzt nicht den Drive das durchzudenken...

Wenn es um die Anwendung der LR-Zerlegung geht würde ich ehr zu "LR-Zerlegung auf einem Matrixfeld" greifen...