Hilfe bei einer 4x6 Matrix, Lösungsansatz? Wo bilde ich die Nullen (Existiert eine Hauptdiagonale?)

Question

Aufgabe:

Hallo, benötige Hilfe bei diesem LGS. Es hat 6 Spalten und nur 4 Zeilen, ich hab keine Ahnung ich wie da auf das Ergebnis kommen soll.
Das LGS:
x1 + 2*x2 + 10*x3 + 13*x5 = 0 
x2 + 4*x3 + x4 + 11*x5 = 0
4*x1 + x2 + 12*x3 - x4 + 11*x5 = 0
3*x1 + 6*x3 + x4 + 15*x5 = 0

Aufgaben:
Lösen Sie das homogene LGS / Schreiben Sie das LGS als Matrizengleichung / Welchen Rang besitzt die Koeffizientenmatrix?

Problem/Ansatz:
Quadratische Matrizen kann ich gut lösen und auch Matrizen mit Parametern, aber hier habe ich garkeine Ahnung.
Ich habe ja überhaupt keine richtige Hauptdiagonale unter welcher ich Nullen bilden kann.
Brauche einen Lösungsweg wie man das ganze angeht. Der Prof klatscht immer nur Ergebnisse hin.

Wenn ich versuche unter der Diagonale Nullzeilen zu bilden kommt das raus:

1 2 10 0 13 0 
0 1 4 1 11 0 
0 0 42 -1 50 0 
0 0 0 13 78 0

Es bleibt immer ein Rest für x4 und x5?

Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen Niklas

Answer 1

Auf die Zeilestufenform gebracht

\(\small Rref_{Ab} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&2&0&3&0\\0&1&4&0&5&0\\0&0&0&1&6&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

===>

\(   \left\{ x1 = -2 \; x3 - 3 \; x5, x2 = -4 \; x3 - 5 \; x5, x3 = x3, x4 = -6 \; x5, x5 = x5 \right\}   \)

x3=t1,x5=t2 bleiben unbestimmt

und damit

\(\small IL \, :=  \, \left(\begin{array}{r}-2 \; t_1 - 3 \; t_2\\-4 \; t_1 - 5 \; t_2\\t_1\\-6 \; t_2\\t_2\\\end{array}\right)\)

Comments

Hallo,

danke für die schnelle Antwort!
Aber wie komme ich denn auf die Zeilenstufenform?
Ein rechenweg wäre super.
Wenn ich Nullzeilen bilde, dann kommen ab der 4. Spalte Werte wie -131/2 und -23/2.

Ich glaube mein Rechenweg ist falsch.
Gruß Niklas

---

Hm,

versuch das mal mit Hilfe von

https://www.geogebra.org/m/be3jqqzs

nach zu rechnen

p=0

A:={{1, 2, 10, 0, 13, 0}, {0, 1, 4, 1, 11, 0}, {4, 1, 12, -1, 11, 0}, {3, 0, 6, 1, 15, 0}}

[ Θ ] Nullstellen

Du kannst über die Listenauswahl die zu nullenden Einträge auswählen:

Zwischenergebnis

\(\small \left(\begin{array}{rrrrrr}1&2&10&0&13&0\\0&1&4&1&11&0\\0&0&0&6&36&0\\0&0&0&1&6&0\\\end{array}\right)\)

im nächsten Schritt wird die 3. Zeile verschwinden - die 4 Zeile zur 3. tauschen

dann die 1er Zeilen nach oben durch nullen...

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zum Lösen des Gleichungssystems bietet sich oft das Gauß-Verfahren an. Dabei wendest du elementare Zeilenumformungen an. Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu generieren, die lauter Nullen und genau eine \(1\) enthalten. Wir machen das mal zusammen:

$$\begin{array}{rrrrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & = & \text{Operation}\\\hline1 & 2 & 10 & 0 & 13 & 0 &\\0 & 1 & 4 & 1 & 11 & 0 & \\4 & 1 & 12 & -1 & 11 & 0 & -4Z_1\\3 & 0 & 6 & 1 & 15 & 0 & -3Z_1\\\hline1 & 2 & 10 & 0 & 13 & 0 & -2Z_2\\0 & 1 & 4 & 1 & 11 & 0 & \\0 & -7 & -28 & -1 & -41 & 0 &+7Z_2 \\0 & -6 & -24 & 1 & -24 & 0 &+6Z_2\\\hline1 & 0 & 2 & -2 & -9 & 0 & \\0 & 1 & 4 & 1 & 11 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 6 & 36 & 0 & \colon6\\0 & 0 & 0 & 7 & 42 & 0 &\colon7\\\hline1 & 0 & 2 & -2 & -9 & 0 & +2Z_3\\0 & 1 & 4 & 1 & 11 & 0 & -Z_3\\0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 1 & 7 & 0 &-Z_3\\\hline1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 &\Rightarrow x_1+2x_3+3x_5=0 \\0 & 1 & 4 & 0 & 5 & 0 & \Rightarrow x_2+4x_3+5x_5=0\\0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 0 &\Rightarrow x_4+6x_5=0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark \end{array}$$

Die erhaltenen Bedingungsgleichungen für die Lösungen stellst du nun nach den vordersten Variablen um:$$x_1=-2x_3-3x_5\quad;\quad x_2=-4x_3-5x_5\quad;\quad x_4=-6x_5$$und kannst nun alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3-3x_5\\-4x_3-5x_5\\x_3\\-6x_5\\x_5\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-2\\-4\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-3\\-5\\0\\-6\\1\end{pmatrix}=-x_3\begin{pmatrix}2\\4\\-1\\0\\0\end{pmatrix}-x_5\begin{pmatrix}3\\5\\0\\6\\-1\end{pmatrix}$$