Matrizenmultiplikation mit Fibonaccifolge

Question

Aufgabe:

Hallo kann und jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen?

Problem/Ansatz:

Siehe Bild im Anhang. Danke im voraus

Text erkannt:

De Fibonacigdag \( (f)_{n \text { apo }} \) ist elewsir defriest ducch
\( f_{0}:=0, f_{1}:=1 \text { und fout }:=f_{n+1}+f_{n} \quad \text { fieneneno } \)
Die mxmMatrizen A sind iber einem komrutation Ring die Poenzen \( A^{k}\left(k \in \mathbb{N}_{b}\right) \) relevsiv definet dwich:
\( A^{0}:=I_{m}\left(-\right. \) Eritheitsmatrix \( \left.\left(\begin{array}{ll}10 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\right) \)
und \( A^{k+1}:=A^{k} \cdot A \quad \) für \( k \in \|_{0} \)
Behauplung: \( \quad A^{m+n}=A^{m} \cdot A^{n} \)
fir alle minell

Answer 1

vollst. Induktion müsste doch gehen.

Sei also m eine feste nat. Zahl.

Dann zeige für alle n∈ℕ  \(  A^{m+n}=A^m \cdot A^n        \)

Für n=1 gibt die Def. das schon her.

Gilt die Formel für ein n, (Induktionsannahme)

dann gilt auch:

\(  A^{m+(n+1)}=A^{(m+n)+1}=A^{m+n} \cdot A        \)

Dann die Induktionsannahme einsetzen:

\(  = (A^m \cdot A^n   ) \cdot A =  A^m \cdot ( A^n    \cdot A ) =  A^m \cdot A^{n+1}     \)

==>  Formel gilt auch für n+1.  q.e.d.