Fibonaccifolge und Grenzwert

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Fibonacci-Folge. Berechne folgenden Grenzwert.

lim n→∞ fn−1/fn

Problem/Ansatz:

Answer 1

Das konvergiert gegen das Verhältnis des goldenen Schnitts (bzw. das Reziproke davon).

Kennst du die Formel von Binet?

Answer 2

Als Grenzwert für n --> ∞ sollte gelten

x = f(n + 2) / f(n + 1) = f(n + 1) / f(n)

Ich ersetze mal f(n + 2) = f(n + 1) + f(n)

(f(n + 1) + f(n)) / f(n + 1) = f(n + 1) / f(n)

f(n + 1) / f(n + 1) + f(n) / f(n + 1)  = f(n + 1) / f(n)

1 + 1/x = x

x + 1  = x^2

x^2 - x - 1 = 0 --> x = 1/2 + √5/2 = 1.618033988 (∨ x = √5/2 - 1/2)

Die negative Lösung scheidet aus, weil die Fibonaccizahlen ja allesamt positiv sind und daher auch der Quotient positiv sein muss.