Zeigen Sie, dass nur eine dieser Lösungen als Grenzwert infrage käme.

Question

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Es ist der Unterpunkt einer größeren Aufgabe. Die für diese Aufgabe wichtigen Ergebnisse habe ich unten zusammengestellt.

Gegeben:

Sei
a ₁ := 1
a ₂ := 1
a _n+2 := a _n+1 + a _n (für n ≥ 0).

Die Zahl a n heißt n-te Fibonacci Zahl (wir haben diese Zahlen bereits in der
Vorlesung kennengelernt). Wir definieren eine weitere Folge b _n := a _n+1/a_n .

bereits Bewiesen/ Berechnet:

Die Folge b_n hat einen Grenzwert der eine Lösung der Gleichung x=1+(1/x) ist. Die Lösungen der Gleichung sind x₁=(1+√5)/2,  x₂=(1-√5)/2 (berechnet mit der mitternachtsformel).

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass nur eine dieser Lösungen als Grenzwert infrage käme.

Weitere Infos

Diese Lösung ist als goldener Schnitt  bekannt.... (also ist die Lösung x₁=(1+√5)/2 die richtige)

Grüße!!

Answer 1

da die Folgenglieder von an alle positiv sind,
sind auch die bn als Quotient von positiven Zahlen
alle positiv, also muss auch der GW von bn
größer oder gleich null sein.

da x2 negativ ist, kommt es nicht infrage