Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Nullstellen folgender Polynomfunktionen \( p: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}: z \mapsto p(z) \).
(a) \( p_{1}(z):=z^{4}-1 \)
(b) \( p_{2}(z):=z^{2}-4 z+5 \)
(c) \( p_{3}(z):=z^{3}-4 z+z^{2}-4 \)
(d) \( p_{4}(z):=z^{2}+(1-2 \mathrm{i}) z-1-\mathrm{i} \)
Stimmen meine Rechnungen?
Text erkannt:
a)
\( p_{1}(z):=z^{4}-1 \cdot z^{2}=w \quad z_{1 / 2}=\sqrt{1} \quad z_{i / 4}=\sqrt{-1} \)
\( p_{1}(w)=w^{2}-1 \quad 1+1 \) \( w^{2}=1 \quad 1-1 \) \( w_{1}=1 \quad w_{2}=-1 \)\( \quad z_{1}=1 \) \( z_{2}=-1 \)\( \quad z_{3}=i \) \( z_{4}=-i \)
\( w_{1}=1 ; w_{2}=-1 \)
b) \( \quad p_{2}(z):=z^{2}-4 \cdot z+5 \)
\( \begin{aligned} z_{1 / 2} &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 c \cdot a}}{2 a} \\ &=\frac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}=\frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{4 \pm 2_{i}}{2} \end{aligned} \)
\begin{tabular}{l}
\( z_{3} \) \\
\hline\( z_{4} \) \\
\hline \\
\( \pm 2_{i} \) \\
\hline
\end{tabular}
\( z_{1}=\frac{4+2 i}{2}=2+i \quad ; \quad \frac{z_{2}}{2}=\frac{4-2 i}{2}=2-i \)
C)
\( \begin{aligned} P_{3}(z) &=z^{3}-4 z+z^{2}-4 \\ &=z^{3}+z^{2}-4 z-4 \\ &=\left(z^{2}-4\right)(z+1) \\ &=z_{1}=2 \\ & z_{2}=-2 \end{aligned} \)
d)
\( \begin{aligned} \operatorname{Pu}(z) &:=z^{2}+(1-2 i) 2-1-i \\ &=z^{2}+z-2 i z-1-i \\ &=z^{2}+z-i z-i z+i^{2}-i \\ &=z^{2}-i z+z(1-i)+(-i)(1-i) \\ &=z z+(-i) z+z(1-i)+(i)(1-i) \\ &=(z-i)(z+1-i) \end{aligned} \)
\( z_{1}=i \quad z_{2}=i-1 \)
