Aloha :)
Da \(x^x\) nur für \(x>0\) definiert ist, ist \(x^x\) stets positiv. Die Ableitung der Funktion$$f(x)=x^x=e^{\ln\left(x^x\right)}=e^{x\ln x}$$finden wir mit der Kettenregel:$$f'(x)=e^{x\ln x}\cdot\left(\ln x+x\cdot\frac1x\right)=x^x\left(\ln x+1\right)$$Bei der Suche nach den Nullstellen von \(f'(x)\) können wir uns auf die Klammer beschränken, weil wir die Forderung \(x>0\) im Hinterkopf behalten haben. Ohne großes Rechnen fällt sofort auf, dass die Klammer für \(x=\frac1e\) verschwindet.
Kann es weiter Nullstellen der ersten Ableitung geben?$$x<\frac1e\implies(\underbrace{\ln x}_{<-1}+1)<0\implies f'(x)<0$$$$x>\frac1e\implies(\underbrace{\ln x}_{>-1}+1)>0\implies f'(x)>0$$
Die erste Ableitung \(f'(x)\) hat also genau eine Nullstelle bei \(x=\frac1e\), bei der insbesondere das Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt. Das heißt, die Funktion \(f(x)\) hat ein globales Minimum bei \(x=\frac1e\).
$$\operatorname{min}\{x^x\,\big|\,x>0\}=\left(\frac1e\right)^{\frac1e}\approx0,6922$$
~plot~ x^x ; {1/e|(1/e)^(1/e)} ; [[0|2,5|0|5]] ~plot~
