Trigonometrie: Wie lang ist das Straßenstück?

Question

                                                                                                   

Eine 2,3km lange gerade Straße hat die mittlere Steigung 12,5%

a) Berechne den Steigungswinkel α der Straße  und den Höhenunterschied h, der von der Straße überwunden wird.

b) Wie lang ist dieses Straßenstück auf einer Karte vom Maßstab 1 : 25000?

 

Zu a)   0,125 = h / s

tan (α) = 0,125 = 7,13°  (??)

α = 7,13°

sin (α) = h / 2,3

h = sin (7,13°) * 2,3

h = 0,285km,  somit beträgt der Höhenunterschied 285m.

Ist das so richtig??

Die Teilaufgabe b) kann ich leider nicht lösen, habe auch keinerlei Ansatz.  Vielleicht könnte mir jemand dabei helfen?

 

Dankeschön und liebe Grüße,

Sophie

Answer 1

Hi Sophie :-)

 

a)

tan (α) = 0,125 = 7,13°

Das rot Markierte bitte weglassen.

α = arctan(0,125) ≈ 7,13°

Korrekt!

 

Höhenunterschied = 285m

sin(α) = h/2,3

h = sin(α) * 2,3 = sin(arctan(0,125)) * 2,3 = 0,285

Korrekt!

 

b)

ganz einfach:

Ein Maßstab von 1 : 25.000 bedeutet, dass jeder Längeneinheit auf der Karte (zum Beispiel cm) 25.000 Längeneinheiten in der Realität entsprechen.

Also werden 2,3km in der Realität zu 2,3km/25.000 auf der Karte:

9,2*10^-5km = 0,000092km = 0,092m = 9,2cm

 

Lieben Gruß

Andreas

Comments

Hallo Andreas,

vielen Dank für Deine Rechnung!

Unklar sind mir dennoch zwei Dinge:

Woher weiß ich, dass ich in cm umrechnen muss?

Ferner komme ich mit dem Taschenrechner zwar auch auf 9,2*10^-5, allerdings haben wir eine solche Minushochzahl meines Wissens noch nicht gehabt und ich habe keinerlei Ahnung, wie ich dann auf 0,000092km umrechnen kann.

Würde mich sehr freuen, wenn Du mir nochmals helfen könntest!

Liebe Grüße,

Sophie 

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Kein Problem Sophie :-)

 

Ich denke, man rechnet in cm um, weil das eine vernünftige Größenordnung für eine Straßenkarte ist; Du könntest wahrscheinlich auch mm nehmen, aber das ist - glaube ich - eher unüblich :-)

 

Zum Umrechnen von 9,2 * 10^-5:

Dies bedeutet ja: 9,2 * 1/(10⁵) oder 9,2 : 10⁵

(Negativer Exponent: Die 10 kommt mit dem jetzt positiven Exponent in den Nenner)

Wenn Du mit einer Zahl 10^x multiplizierst, verschiebst Du das Komma um x Stellen nach rechts,

zum Beispiel: 9,2 * 10⁴ = 9,2000, (beide Kommas {Kommata?} nur zur Verdeutlichung)

Wenn Du dagegen durch eine Zahl 10^x dividierst, verschiebst Du das Komma um x Stellen nach links,

zum Beispiel: 9,2 : 10⁴ = 0,0009,2 (das rote Komma nur zur Verdeutlichung)

Ich mache das immer so, dass ich viele Nullen vorn hinschreibe, den Cursor an die aktuelle Stelle (hier also zwischen 9 und 2) setze und dann einfach x stellen nach links gehe und dort das "neue" Komma einsetze.

 

Auf diese Art lassen sich sehr große Zahlen - wie zum Beispiel in der Astronomie - oder sehr kleine Zahlen - Physik, Chemie - elegant darstellen.

 

Etwas klarer?

 

Lieben Gruß

Andreas

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Andreas, von der Logik her ist mir das klar, aber ich kann das mit dem Taschenrechner nicht umsetzen. Es wäre für mich schon fast einfacher die ganze Chose ohne Rechner zu bearbeiten und das kann ja nicht sein.   Gebe ich ein:  9,2* 10^-5 , so erhalte ich 23 / 250000, teile ich das, bin ich wieder bei 9,2*10^-5 .

Irgendetwas läuft da völlig schief, aber ich weiß nicht was! Es muss doch eine Taste geben, mit der man auf einen Schlag die Aufgabe umwandeln bzw. ausrechnen kann!

Verstehst Du das?

Liebe Grüße

Sophie 

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Ich denke, dass Taschenrechner bei Zahlen in einer bestimmten Größenordnung - Kleinenordnung :-) -

einfach immer die wissenschaftliche Darstellung mit 10^x verwenden und Ausdrücke wie

0,000092 einfach nicht ausgeben. So tut es zumindest meine Mathe-App auf dem Handy; beim Taschenrechner, den es für Ubuntu auf dem PC gibt, sieht es genauso aus:

 

Die "magische Grenze" scheint hier aber 10^-4 zu sein:

 

Die App gibt sogar erst bei 23/2500 das Ergebnis

0,0092 aus.

 

Tja, da kommen wir halt um Kommaverschiebung per Hand nicht herum :-)

 

Liebe Grüße

Andreas

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Ganz lieben Dank für Deine geduldigen Erklärungen!

Es ist immer schön, wenn man anschließend das gute Gefühl hat, dass sich die Mühe gelohnt hat.

Merci encore und liebe Grüße

Sophie

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"Es ist immer schön, wenn man anschließend das gute Gefühl hat, dass sich die Mühe ausgezahlt hat."


Dem schließe ich mich ohne Einschränkung an :-)


Liebe Grüße zurück

Andreas

Answer 2

Teil a)  ist prinzipiell richtig (ich habe allerdings nicht nachgerechnet).


Teil b)

Als Maßstab M bezeichnet man das Verhältnis von Bildlänge zu Urbildlänge.

Also:  M = Bildlänge / Urbildlänge

Wenn nun die Urbildlänge 2 , 3 km beträgt und der Maßstab M = 1 : 25000 ist, dann gilt offensichtlich:

Bildlänge / 2,3 = 1 / 25000

Auflösen nach Bildlänge ergibt:

<=> Bildlänge = 2,3 * 1 / 25000

= 2,3 / 25000 = 0,000092 km = 0,092 m = 9,2 cm