Cauchy-Produkt berechnen von (Σ(k+1)*x^k ) * (Σx^k)

Question

es gelte: \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(k+1)*x^k} \) und \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{x^k} \)

a) Für welche x ∈ R konvergieren die Reihen absolut? Begründen Sie!

b)Berechnen Sie das Produkt von ( \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(k+1)*x^k} \) )*(  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{x^k} \) ) mithilfe des Cauchy-Produktes

Also bei a) hab ich als für alle IxI < 1 konvergieren die Reihen, weil es geometrische Reihen sind.

bei b) bin ich jetzt so weit:

( \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(k+1)*x^k} \) )*(  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{x^k} \) ) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\sum\limits_{j=0}^{k}{(j+1)*x^j*x^(k-j)}   } \) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\sum\limits_{j=0}^{k}{(j+1)*x^k}  } \) 

Jetzt bin ich mir stark unsicher wie ich weitermachen soll

Comments

Was ergibt denn die Summe \(\sum_{j=0}^k(j+1)=\sum_{m=1}^{k+1}m\) ?

Da soll doch der kleine Gauss ....

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Achso..

\( \sum\limits_{m=1}^{k+1}{m} \) = \( \frac{(k+1)*((k+1)+1)}{2} \) ?

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Sieht gut aus :-)

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Also bin ich jetzt bei \( \sum\limits_{0=0}^{\infty}{x^k * \frac{(k+1)*(k+2)}{2}} \)...bin ich damit fertig ?

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Also ich würde sagen: ja. Den Wert der neuen Potenzreihe
in einer geschlossenen Form anzugeben war wohl nicht gefordert !?

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Aufgabe war das Produkt zu berechnen... Also nehm ich an dass es reicht :D