Aloha :)
Wir haben die beiden Basen$$B=\left(\binom{1}{1},\binom{1}{0}\right)\quad;\quad C=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$
Ihre Komponenten sind bezüglich der jeweiligen Standardbasis \(S2\) bzw. \(S3\) angegeben. Daher kennen wir die Transformationsmatrizen von \(B\) in \(S2\) und von \(C\) nach \(S3\):$${_{S2}}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad {_{S3}}\mathbf{id}_C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Wir kennen die Darstellungsmatrix einer Funktion \(f\) bezüglich der Basen \(B\) und \(C\):$${_C}F_B=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 1\\2 & -1\end{array}\right)$$
Zur Angabe der Abbildung \(f(\vec x)\) brauchen wir die Darstellungsmatrix in den Standardbasen:$$f(x_1;x_2)={_{S3}}\mathbf{id}_C\cdot{_C}F_B\cdot{_B}\mathbf{id}_{S2}\cdot\binom{x_1}{x_2}={_{S3}}\mathbf{id}_C\cdot{_C}F_B\cdot\left({_{S2}}\mathbf{id}_{B}\right)^{-1}\cdot\binom{x_1}{x_2}$$$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\1 & 1\\2 & -1\end{array}\right)\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}^{-1}\binom{x_1}{x_2}=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 0\\0 & 5\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}$$$$f(x_1;x_2)=\begin{pmatrix}x_1+2x_2\\x_1\\5x_2\end{pmatrix}$$
