Man soll für diese Funktion ein c finden damit sie stetig ist.

Question

Aufgabe:

\( \mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow R, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x * \sin (1 / x) & x \neq 0 \\ c & x=0\end{array}\right. \)

Man soll für diese Funktion ein c finden damit sie stetig ist. Aber diese  Funktion dürfte doch gar nicht stetig sein, da x * sin(1/x) in 0 nicht definiert ist. Und alle Funktionen die Teil der abschnittsweisen definierten Funktion sind, müssen doch für die Stetigkeit z.B. in x = 0 den gleichen Wert haben, oder?

Comments

Gegen welchen Wert strebt x*sin(1/x) an der Stelle x=0 ?

c muss diesen Wert annehmen, um die Lücke zu schließen.

Answer 1

Aloha :)

Für alle \(x\ne0\) gilt:$$-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1$$Daher gilt für \(x>0\):$$-x\le x\sin\left(\frac1x\right)\le x\quad\implies\quad\lim\limits_{x\searrow0}\left(x\sin\left(\frac1x\right)\right)=0$$und für \(x<0\):$$-x\ge x\sin\left(\frac1x\right)\ge x\quad\implies\quad\lim\limits_{x\nearrow0}\left(x\sin\left(\frac1x\right)\right)=0$$Der links- und der rechtsseitige Grenzwert sind also beide gleich \(0\). Damit die Funktion bei \(x=0\) stetig ist, muss also \(f(0)=0\) ergänzt werden, d.h. \(c=0\).

~plot~ x*sin(1/x) ; [[-0,1|0,1|-0,1|0,1]] ~plot~

Answer 2

Und alle Funktionen die Teil der abschnittsweisen definierten Funktion sind, müssen doch für die Stetigkeit z.B. in x = 0 den gleichen Wert haben, oder?

Nicht ganz, die dort nicht definiert sind (und die obere Zeile

gilt ja nur für x≠0 ) müssen aber als Grenzwert für x gegen diese Stelle,

den gleichen Wert haben, wie der andere Abschnitt als Funktionswert.

Der Grenzwert ist o, also muss c=0 gelten.