Parameter a, b, c, d bestimmen damit die Funktion stetig und differenzierbar ist.

Question

Bestimmen Sie die Werte der Parameter a, b, c, d ∈ IR, für die die gegebene Funktion f an den Stellen x = 0 und x = 2 stetig und differenzierbar ist. 

f(x) = ax^3 − 2bx^2 + b , x ≤ 0

        −bx^3 + 2x^2 + 1 , 0 < x ≤ 2

          x^4 − 4x^3 + cx + d , x > 2 

Kann mir jemand hierbei helfen?

Ich bin schon soweit, dass ich die links- und rechtseitigen grenzwerte gleichsetze, sowie die Ableitung genauso.

Aber ich komme auf keine vernüftigen werte.

Ich freue mich auf eure Hilfe.

Answer 1

Hallo jf2055,

f = ax³ − 2bx² + b , x ≤ 0
g = −bx³ + 2x² + 1 , 0 < x ≤ 2

h = x⁴ − 4x³ + cx + d , x > 2

Stelle folgende Gleichungen auf
f ( 0 ) = g ( 0 )
g ( 2 )  = h ( 2 )
f ´ ( 0 ) = g ´( 0 )
f ´( 2 ) = g ´( 2 )

Lösung
a = 1/3
b = 1
c = 12
d = -7

mfg Georg

Comments

Warum kann ich denn f '(2) und g ' (2) gleichsetzen?

Wenn ich g '(2) und h ' (2) gleichsetze komme ich auf c und somit auf d. das habe ich selber schon gelöst. aber ich komme nicht auf a. bzw. auf verschiedene a

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Anstelle
f '(2) und g ' (2)
muß es natürlich heißen
g ' (2) und h ' (2)

f ( 0 ) = g ( 0 )  | stetig bei x = 0
f ´ ( 0 ) = g ´( 0 )  | gleiche Steigung bei x = 0
g ( 2 )  = h ( 2 )   | stetig bei x = 2
g ´( 2 ) = h ´( 2 )  | gleiche Steigung bei x = 2

Wo bei dir ein Fehler steckt weiß ich nicht.
Hier die Berechnung für b wenn c und d bekannt sind.

g ( 2 ) = h ( 2 )
−b *2³ + 2 *2² + 1 = 2⁴ − 4*2³ + 12* 2 + (-7)
-b*8 + 8 + 1 = 16 - 32 + 24 -7
- 8*b = 1 -9 = -8
b = 1

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erstmal danke für deine Antwort, die war bis hierhin super hilfreich.

Aber auch ich kann nicht nachvollziehen wie du auf a = 1/3 kommst...Bei mir ergibt sich aus keiner Gleichung wie man auf ein anderes a außer a=b, also a=1 kommt...kann es sein, dass du vielleicht aufgrund deines Tippfehlers doch f`´(2)=g´(2) gesetzt hast?:) das wäre jetzt meine einzige idee...

MfG Max

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Hallo max,
die von mir zuerstgenannte Lösung ist falsch da in den Annahmen
ein Fehler ist.

Richtig ist
b = 1
c = 12
d = -7

 für a kommt heraus bei
f  ( 0 ) = g ( 0 )
a ist beliebig.

Ich habe dies auch graphisch überprüft für a = 1

Die Grafik für a = 2 oder a = 3 stimmt auch.

mfg Georg