\( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi)=\{0\} \) ==> \( \operatorname{Kern}(\Phi)=\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)
Es gelte (i) und sei x∈\( \operatorname{Kern} (\Phi) \)
==> Φ(x)=0 ==> Φ^2(x) = Φ( Φ(x))= Φ(0)=0
==> x ∈ \(\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)
auch ohne die gegebene Voraussetzung.
Also gilt \( \operatorname{Kern}(\Phi) ⊆ \operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)
auch ohne die gegebene Voraussetzung.
Sei umgekehrt x∈\(\operatorname{Kern}\left(\Phi^{2}\right) \)
==> Φ( Φ(x))=0 ==> Φ(x) ∈ \( \operatorname{Kern} (\Phi) \)
Andererseits ist natürlich \( Φ(x) ∈ \operatorname{Bild}(\Phi)\)
somit Φ(x) ∈ \( \operatorname{Kern}(\Phi) \cap \operatorname{Bild}(\Phi) \)
also nach Vor. Φ(x) = 0 ==> x ∈ \(\operatorname{Kern}\left(\Phi\right) \).
Damit ist (i) ==> (iii) bewiesen.
Vielleicht hast du ja ne Idee für die andere Richtung.