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Es sei \( B:=\left\{b_{1}, \ldots, b_{5}\right\} \) eine Basis eines reellen Vektorraums \( V \) und \( \Phi \) ein Endomorphismus von \( V \) mit
\( \begin{array}{lllllrl} \Phi\left(b_{1}\right) & = & 4 b_{1} & +2 b_{2} & & -2 b_{4} & -3 b_{5} \\ \Phi\left(b_{2}\right) & = & & & -2 b_{3} & & +b_{5} \\ \Phi\left(b_{3}\right) & = & & -4 b_{2} & +2 b_{3} & & -b_{5} \\ \Phi\left(b_{4}\right) & = & -2 b_{1} & & +3 b_{3} & +b_{4} & -b_{5} \\ \Phi\left(b_{5}\right) & = & & 3 b_{2} & & & +2 b_{5} \end{array} . \)
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen von \( \Phi \) und \( \Phi \circ \Phi \) bezüglich \( B \).
b) Ist \( \Phi \) bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Zeigen Sie: Die Menge \( C:=\left\{c_{1}, c_{2}, c_{3}\right\} \), bestehend aus den Vektoren
\( c_{1}:=b_{2}+b_{3}+b_{5}, \quad c_{2}:=-b_{3}+b_{5}, \quad c_{3}:=b_{2}+b_{5}, \)
ist Basis eines Untervektorraums \( U \) von \( V \) mit \( \Phi(U) \subset U \).
d) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix des Endomorphismus \( \left.\Phi\right|_{U}: U \rightarrow U \) (das ist die Einschränkung von \( \Phi \) auf \( U \) ) bezüglich \( C \).
wie kann ich bitte c und d lösen?
