Winkel bei Diagonalen des Würfels

Question

Aufgabe:

Ein Partner löst die folgenden Textaufgaben für einen Würfel der Kantenlänge 5 cm.

a) Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale des Würfels

1] mit einer Kante bildet

2] mit der Diagonalen einer Seitenfläche bildet?

b) Wie groß ist der Winkel zwischen zwei Raumdiagonalen?

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man die Aufgabe löst. Für einen vollen Rechenweg mit Lösung wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Wenn a die Seitenkante des Würfels ist, dann bekommst du

(mit Pythagoras) für die blaue Flächendiagonale d=a*√2.

Dann hast du für den blau markierten Winkel

tan(α)= a/ (a*√2) = 1/√2 ===> α≈35,3°

und für den rot markierten tan(ß)=a*√2 / a = √2 ==> ß≈54,7°

Answer 2

Flächendiagonale ( blau )
df ^2 = a^2 + a^2
df = a * √ 2
Raumdiagonale
dr ^2 = a^2 + a^2 + a^2
dr = a * √ 3

Winkel zwischen R / F
cos ( alpha ) = ( a * √ 2 ) / ( a * √ 3 )
cos ( alpha ) = 0.8165
alpha = 35.26 °