Symmetrieebene zweier Ebenen bestimmen

Question

Hallo, ich habe Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen.

Aufgabe:

Die Ebenen E: 3_x1 + _x2 - 4_x3 = 8 und

F: 3_x1 + _x2 - 4_x3 = -5 sind zueinander echt parallel.

Gebe eine Gleichung der Symmetrieebene an (d.h. Die Ebene die zu E & F den gleichen Abstand hat)

Muss man nun den Lotfußpunkt bestimmen oder wie müsste man vorgehen?

LG

Answer 1

Wähle einen Punkt P(u|v|w) auf einer Ebene und berechne seinen a Abstand von der anderen Ebene. Dann gent die Symmetrieebenen durch den Punkt \( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \)+\( \frac{a}{2} \) ·\( \begin{pmatrix} 3\\1\\-4 \end{pmatrix} \).

Answer 2

Hallo,

bei Aufgabe dieser Art kommt es weniger darauf an, wie man was rechnet, sondern vielmehr darauf an, zu verstehen, was das hier ...$$E:\quad 3x_1+x_2-4x_3=8$$... so im Einzelnen (z.B. rein geometrisch) bedeutet.

Diese \(8\) auf der rechten Seite steht für den Abstand der Ebene zum Ursprung. Es ist nicht direkt der Abstand, aber proportional dazu!

Heißt, wenn da eine zweite Ebene existiert $$F:\quad 3x_1+x_2-4x_3=-5$$mit identischer linker Seite, dann ist die Symmetrieebene zwischen beiden schlicht$$3x_1+x_2-4x_3=\frac12(8+(-5))=\frac{3}2$$mit der identischen linke Seite (was denn sonst!) und dem Mittelwert der Konstanten auf der rechten Seite der Ebenengleichung.

Gruß Werner