2 Punkte sind symmetrisch zu einer Ebene, wenn man den einen Punkt durch Spiegelung an der Ebene auf den anderen Punkt abbildet.
Ich spiegel mal als Beispiel Punkt A an der Ebene.
Dazu stelle ich eine Geradengleichung durch A auf die Senkrecht zur Ebene ist.
[3, 1, 5] + r·[4, 1, 2] = [4·r + 3, r + 1, 2·r + 5]
In die Ebenengleichung setze ich jetzt die Punkte der Gerade ein um den Abstand r zur Ebene zu finden. Der Abstand wird gemessen in Längeneinheiten des Richtungsvektors.
4·x + y + 2·z = 44 | Hier jetzt die Gerade einsetzen
4·(4·r + 3) + (r + 1) + 2·(2·r + 5) = 44
21·r + 23 = 44
r = 1
Jetzt das doppelte von r in die Geradengleichung einsetzen, weil der Spiegelpunkt den Abstand 2r vom ersten Punkt hat.
[4·2 + 3, 2 + 1, 2·2 + 5]
[11, 3, 9]
A und C liegen also symmetrisch zur Ebene.
