Aloha :)
Gegeben ist uns die Funktion:$$s(t)=-\frac{1}{40}\,t^3+\frac{7}{10}\,t^2+\frac{37}{20}\,t=-\frac{1}{40}\left(t^3-28t^2-74t\right)$$
zu a) Die Sekante durch die Punkte \(A\left(1\big|\frac{101}{40}\right)\) und \(B\left(6\big|\frac{309}{10}\right)\) erhalten wir aus der allgemeinen 2-Punkte-Form der Geradengleichung:$$\left.\frac{s-s_1}{t-t_1}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}\quad\right|\text{Werte einsetzen}$$$$\left.\frac{s-\frac{101}{40}}{t-1}=\frac{\frac{309}{10}-\frac{101}{40}}{6-1}=\frac{\frac{1135}{40}}{5}=\frac{227}{40}\quad\right|\cdot(t-1)$$$$\left.s-\frac{101}{40}=\frac{227}{40}\cdot(t-1)=\frac{227}{40}t-\frac{227}{40}\quad\right|+\frac{101}{40}$$$$s=\frac{227}{40}\,t-\frac{126}{40}$$Die Steigung \(\frac{227}{40}=5,675\) der Sekante hat die Einheit \(\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\) und gibt die mittlere Geschwindigkeit zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) an.
zu b) Die Steigung der Tangenten bei \(t=5\) bzw. \(t=11\) erhalten wir, indem wir die Werte in die erste Ableitung einsetzen:$$s'(t)=-\frac{3}{40}t^2+\frac75t+\frac{37}{20}\quad\implies\quad s'(5)=\frac{279}{40}=6,975\;;\;s'(11)=\frac{327}{40}=8,175$$
Die Ableitung \(s'(t)\) gibt die momentante Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) an. Die momentane Geschwindigkeit nach \(11\,\mathrm s\) ist also größer als die momentane Geschwindigkeit nach \(5\,\mathrm s\).
zu c) Hier sollen wir den Zeitpunkt \(t\) bestimmen, zu dem die momentane Geschwindigkeit gerade der mittleren Geschwindigkeit zwischen \(t=2\) und \(t=6\) Sekunden ist:$$\left.s'(t)=\frac{s(6)-s(2)}{6-2}=\frac{\frac{309}{10}-\frac{63}{10}}{4}=\frac{\frac{246}{10}}{4}=\frac{123}{20}\quad\right|s'(t)\text{ einsetzen}$$$$\left.-\frac{3}{40}t^2+\frac75t+\frac{37}{20}=\frac{123}{20}\quad\right|-\frac{123}{20}$$$$\left.-\frac{3}{40}t^2+\frac75t-\frac{43}{10}=0\quad\right|\cdot\left(-\frac{40}{3}\right)$$$$\left.t^2-\frac{56}{3}+\frac{172}{3}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$t_{1;2}=\frac{28}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{28}{3}\right)^2-\frac{172}{3}}=\frac{28}{3}\pm\sqrt{\frac{268}{9}}=\frac{28\pm2\sqrt{67}}{3}$$Wir erhalten zwei Lösungen: \(t_1=3,8764\) und \(t_2=14,7902\). Da wir an der Zeit \(t\in[2;6]\) interessiert sind, fällt die zweite Lösung weg und wir finden:$$t\approx3,8764\,\mathrm s$$
zu d) Die zweite Ableitung lautet:$$s''(t)=-\frac{3}{20}\,t+\frac75=-0,15\,t+1,4$$Sie gibt die Änderung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) an, also die Beschleunigung. Der Faktor \((-0,15)\) bedeutet, dass die Beschleunigung mit zunehmender Zeit \(t\) langsamer wird. Das ist auch klar, weil der Läufer am Anfang \((t=0)\) aus dem Stand heraus beschleunigt, aber irgendwann seine Maximalgeschwindigkeit erreicht hat und dann wieder langsamer wird (anaerober Belastung).
