Rechnen mit Produktzeichen

Question

Aufgabe: Berechne das Produkt: "Produktzeichen" k=1, n=50   k*(k+1)/ (k+1)²

Wie spaltet man den Bruch auf?

Comments

Meinst Du wirklich \(\prod\limits_{k=1}^{n=50}\frac{k(k+1)}{(k+1)^{2}}\) ?!

Da kann man doch den Ausdruck \((k+1)\) bereits kürzen:$$\prod\limits_{k=1}^{n=50}\frac{k(k+1)}{(k+1)^{2}} = \prod\limits_{k=1}^{n=50}\frac{k}{(k+1)}$$

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Ohje ich hab mich verlesen. Im Zähler kommt k(k+2).... tut mir leid. was mach ich dann?

Answer 1

Eine Möglichkeit wäre$$\prod_{k=1}^{50}\frac{k}{k+1}\cdot\frac{k+2}{k+1}=\frac{50!}{51!}\cdot\frac{\frac12\cdot52!}{51!}=\frac1{51}\cdot\frac{52}2=\frac{26}{51}.$$

Comments

Danke für die Antwort, jetzt ist es mir klarer, aber Wieso muss man beim 2. Bruch im Zähler 52!* 1/2 rechnen?

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Dem Produkt \(\displaystyle\prod_{k=1}^{50}(k+2)=3\cdot4\cdot5\cdots50\cdot51\cdot52\) fehlt im Vergleich zu \(52!\) gerade der Faktor \(2\). Deswegen \(\frac12\cdot52!\).

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Achsooo stimmt vielen Dank!