Wie lautet die Lösung der Schwingungsgleichung?

Question

Aufgabe:

Wie lautet die Lösung der Schwingungsgleichung \( f^{\prime \prime}(x)+9 f(x)=0 \) mit der Anfangsbedingung

(i) \( f(0)=2 \) und \( f^{\prime}(0)=1 ? \)

(ii) \( f(1)=2 \) und \( f^{\prime}(1)=0 \) ?
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal für f(x)= y

y'' +9y=0

Ansatz:

y=e^(kx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen:

y'=k e^(kx)

y''=k^2 e^(kx)

k^2+9=0 charakt. Gleichung

k_1,2= ± 3i

y₁= C₁ e^(i3x)

y₂= C₂ e^(-i3x)

---->Satz von Euler oder Tabelle:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Blatt2; Punkt1; Zeile3

Ergebnis:

\( y(x)=C_{1} \cos (3 x)+C_{2} \sin (3 x) \)

->(i) \( f(0)=2 \) und \( f^{\prime}(0)=1 ? \) Anfangsbedingung in die Lösung einsetzen:

\( y(x)=C_{1} \cos (3 x)+C_{2} \sin (3 x) \)

\( y(x)'=-3C_{1} \sin (3 x)+3C_{2} \cos (3 x) \)

-->

a) 2=C₁

b) 1=3C₂ ->C₂= 1/3

----->

Endergebnis:

\( y(x)=2 \cos (3 x)+\frac{1}{3} \sin (3 x) \)

Ergebnis für ii)

\( y(x)=2 \cos (3-3 x) \)