Schnittpunkte ermitteln ,wie?

Question

Aufgabe: f(x) = sin(x) und g(x) = sin(2x)

Wie muss ich es auflösen, um die Schnittpunkte zu ermitteln?

…

Problem/Ansatz:

Bitte Rechenweg aufschreiben.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\) verwenden:

$$\left.\sin(2x)=\sin(x)\quad\right|\text{links umformen}$$$$\left.2\sin(x)\cos(x)=\sin(x)\quad\right|-\sin(x)$$$$\left.2\sin(x)\cos(x)-\sin(x)=0\quad\right|\text{links ausklammern}$$$$\left.\sin(x)\cdot(2\cos(x)-1)=0\quad\right|\quad\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$\sin(x)=0\quad\lor\quad\cos(x)=\frac12$$Die Nullstellen der Sinus-Funktion sind alle ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\).

Wegen \(\arccos\left(\frac12\right)=\frac\pi3\) und \(\cos(-x)=\cos(x)\) gilt \(\cos\left(\pm\frac\pi3\right)=\frac12\) und wegen der \(2\pi\)-Periode der Cosinus-Funktion haben wir insgesamt folgende Lösungen:$$x=\mathbb Z\cdot\pi\quad;\quad x=\mathbb Z\cdot 2\pi\pm\frac\pi3$$